Предмет аналітичної геометрії, її найпростіші задачі

Тема 5. Предмет аналітичної геометрії, її найпростіші задачі

 

5.1. Предмет аналітичної геометрії. Найпростіші задачі

5.2. Поняття про рівняння лінії на площині

5.3. Пряма лінія на площині

 

5.1. Предмет аналітичної геометрії. Найпростіші задачі

Аналітична геометрія – це галузь математики, яка вивчає геометричні образи та їх властивості засобами алгебри на основі методу координат.

Метод координат встановлює взаємно однозначну відповідність між точками та числами – їх координатами. Оскільки будь-який геометричний об’єкт можна розглядати як множину точок, координати яких пов’язані між собою певним рівнянням, то вивчення геометричних властивостей цього об’єкту можна звести до вивчення властивостей відповідних алгебраїчних рівнянь. Надалі ми так і будемо поступати.

Розглянемо найпростіші задачі аналітичної геометрії.

а) Віддаль між двома точками.

Нехай в просторі , в якому введено прямокутну декартову систему координат, задано дві точки: і 

Координати цих точок, як відомо, є проекціями їх радіус-векторів та на осі координат.

РозглянемовекторОчевидно,що

Модуль вектора і дасть шукану віддальміж точкамиі :

(1.41)

Якщо точки та лежать на площині, то

(1.42)

Приклад 12. Знайти віддаль між точками та 

Показати розв'язок

Згідно з формулою (1.41) маємо :

б) Поділ відрізка у заданому відношенні.

Нехайзаданодвіточкиі тавідношенняуякому деякаточка ділитьцей відрізок

(Рис.1.11). Потрібно знайти координати точки 

Зауважимо, що приточка лежить на відрізку, а при- на його продовжені.

Радіус-вектори точок і відомі:

Векторвнаслідок їх колінеарності і заданого відношення їх довжин .

Враховуючи, що отримаємо: , звідки

(1.43)

Проектуючи векторну рівність (1.43) на осі координат, отримаємо формули

(1.44)

які виражають координати точки через координати точок і та відношення , у якому точка ділить відрізок .

Якщо точка ділить відрізок навпіл, то і

(1.45)

Якщо точки , і лежать на площині, то з формул (1.52),(1.53) залишаються лише перші дві.

Приклад 13. Дано точки та На відрізку знайти точку, яка ділить його у відношенні 

Показати розв'язок

Згідно з формулою (1.44) маємо

Точка

 

5.2. Поняття про рівняння лінії на площині

 

Нехай в просторі (на площині) задана прямокутна система координат Рівняння

(1.46)

називається рівнянням деякої лінії на площині, якщо йому задовольняють координати точок, які лежать на лінії , і не задовольняють координати всіх інших точок.

З іншого боку, якщо задана деяка лінія на площині, то, формулюючи її геометричні властивості в аналітичній формі, дістанемо рівняння цієї лінії у вигляді (1.46).

Зауважимо, що кожній лінії на площині відповідає певне рівняння, яке пов’язує між собою її поточні координатита , але не всякому рівнянню виду (1.46)відповідає деяка лінія на площині. Наприклад, рівнянню

не відповідає жодна лінія на площині, тому що сума квадратів від’ємною бути не може.

Якщо в рівнянні (1.46) - многочлен степені, то кажуть, що- алгебраїчна лінія-го порядку.

Неалгебраїчні лінії називаються трансцендентними. Такими, наприклад, є синусоїда, тангенсоїда та ін.

Зупинимося детальніше на алгебраїчних лініях перших двох порядків.

 

5.3. Пряма лінія на площині

 

Однією з найпростіших 0ліній на площині є пряма лінія. Покажемо, що пряма є алгебраїчною лінією першого порядку, тобто у вибраній прямокутній декартовій системі координат вона може бути задана лінійним рівнянням відносно поточних координат та .

Щоб вивести рівняння прямої на площині, зауважимо, що її положення однозначно визначається заданням точки що лежить на прямій, і вектора перпендикулярного до прямої (нормальний вектор прямої). Будемо вважати, що точка і вектор задані (рис.1.12). Виберемонапрямійдовільнуточку 

Радіус-вектори точок і позначимовідповідно і.Розглянемовектор

Цейвектор перпендикулярний до вектора, отже,

(1.47)

Рівняння (1.47) називається векторним рівнянням прямої на площині. В скалярній формі це рівняння набуває вигляду

(1.48)

Рівняння (1.48) можна назвати рівнянням в’язки прямих, які проходять через точку . Дійсно, змінюючи положення нормального вектора , будемо отримувати різні прямі, які проходять через точку . Таких прямих безліч.

Рівняння (1.48) можна записати у вигляді

(1.49)

де 

Рівняння (1.49) називається загальним рівнянням прямої . Воно є лінійним відносно поточних координат та прямої, а тому пряма лінія є алгебраїчною лінією першого порядку.

Таким чином, довільна пряма лінія на площині може бути задана лінійним рівнянням виду (1.49) і навпаки –

будь-яке лінійне рівняння виду (1.49) визначає на площині пряму лінію.

Із зміною коефіцієнтівв рівнянні (1.49) змінюється і положення прямої на площині. Так, при

обов’язково- пряма проходить через початок координат; при(вектор) пряма паралельна до осі. Якщо при цьому ще і то пряма співпадає з віссю (її рівняння). При(вектор) пряма паралельна до осі . Якщо при цьому ще йто пряма співпадає з віссю (її рівняння ).

НехайПоділивши рівняння (1.57) наі ввівши позначення отримаємо рівняння

(1.50) яке називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом. В ньому - поточні координати, - кутовий коефіцієнт, який чисельно дорівнює тангенсу кута , утвореного прямою з додатнім напрямом осі - величина відрізка, який відтинає пряма на осі.

Позначимо через величину відрізка ,який відтинає пряма на осі . Тоді точки і матимуть координати: Оскільки ці точки лежать на прямій, то їх координати задовольняють рівнянню прямої (1.57), тобто звідки Підставляючи ці значення та в рівняння (1.49) і скорочуючи на отримаємо рівняння прямої у відрізках:

(1.51)

Запишемоумовупроходженняпрямої(1.50) черезточку Віднімаючиотримане співвідношення від рівняння (1.51), дістанемо ще один вид рівняння в’язки прямих, що проходять через точку

(1.52)

Складемо рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки таДля цього виберемонапрямійдовільнуточку ірозглянемовекторита Ці вектори колінарні, отже, один з них лінійно виражається через інший, наприклад,

абоВиключаючи з отриманих співвідношень параметр отримаємо рівняння прямої, яка проходить через точки і :

(1.53)

Ввівши позначення рівняння (1.53) запишемо у вигляді

(1.54)

Рівняння (1.54) називається канонічним рівнянням прямої, яка проходить через точку . Вектор який паралельний до прямої або співпадає з нею, називається напрямним вектором прямої.

Прирівнюючи кожне з відношень у рівнянні (1.54) до параметраі розв’язуючи їх відноснота,

отримаємо параметричні рівняння прямої, яка проходить через точку :

(1.55)

Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих

Нехай задано дві прямі своїми загальними рівняннями: 

Кутом між цими прямими називається кутміж їх нормальними векторами та ,

косинус якого, як відомо з векторної алгебри, визначається за формулою:

(1.56)

Якщо прямі задані рівняннями з кутовими коефіцієнтами (рис. 1.13) та , і утворюють з додатнім напрямом осі кути відповідно та ,

то ,

Враховуючи,що

отримаємо

(1.57)

Якщо пряміпаралельні,то їхнормальнівектори колінеарні і можнапокласти тобто,

Виключаючи з обох рівностей параметр , отримаємо умову паралельності двох прямих:

(1.58)

Якщо при цьому ще й то прямі співпадають.

Умову паралельності можна отримати також і з формули (1.57), а саме: якщо прямі паралельні, то і тобто,

(1.59)

У випадку перпендикулярності двох прямих , тобто, (1.60)

Умова перпендикулярності двох прямих може бути отримана і з формули (1.57), а саме: якщо прямі взаємно перпендикулярні, то отже,, тобто,

(1.61)

Як бачимо, у взаємно перпендикулярних прямих кутові коефіцієнти обернені за величиною і протилежні за знаком.

Віддаль від точки до прямої

Нехай задана пряма своїмзагальнимрівнянням і точкапоза нею (рис.1.14). Щоб знайти віддаль від точкидо заданої прямої,

виберемонанійдовільнуточку і розглянемо векторПроекція цього

вектора на нормальний векторпрямої, взята за абсолютною величиною, і буде шуканою віддаллю, тобто,

Враховуючи, що, остаточно дістанемо:

(1.62)

Приклад 14. Дано координати вершин трикутникаЗнайти:

а) довжину сторони ;

б) рівняння лінії ;

в) рівняння висоти, опущеної з вершини г) довжину висоти 

д) внутрішній кут при вершині ;

е) площу трикутника.

Показати розв'язок

а) За формулою (1.42) віддалі між двома точками знаходимо:

(лін.од.);

б) рівняння лінії, згідно з (1.53), має вигляд:

або

в) згідно з (1.52), рівняння висоти, опущеної з вершини, має вигляд:

Враховуючи умову (1.61) перпендикулярності двох прямих знайдемоі

рівняння висоти запишемо у вигляді: або

г) у відповідності з формулою (1.62)

(лін.од.)

д) для відшукання кутавикористаємо формулу (1.57). Для цього попередньо складаємо

рівняння прямоїі знаходимо її кутовий коефіцієнт

тоді

е) площа трикутника

(кв.од.).