Розв’язування задач на побудову

Тема: Розв’язування задач на побудову за допомогою програмного педагогічного комплексу GRAN 2D

Мета: навчальна - повторити основні властивості паралельного проектування; ознайомити учнів із застосуванням цих властивостей до побудови зображень плоских фігур; формувати математичну компетентність учнів та загально-навчальних дослідницьких навичок старшокласників методами інформаційно-комунікаційних технологій, вдосконалювати техніку обчислень, раціонально поєднувати усні, письмові, інструментальні обчислення; виховна: показати широке коло застосування властивостей паралельного проектування у навколишньому світі; розвиваюча: розвиток просторового уявлення, уваги, акуратність та скрупульозність при виконанні технічного рисунка, уявлень про математичне моделювання як потужний метод наукового пізнання, розширення загального кругозору школярів, мотивація до свідомої навчальної діяльності.

Тип уроку: формування та закріплення знань. 

Форма роботи: Діалог, інтерактивне спілкування, коментарі до мультимедійного супроводу, практичне застосування набутих навичок.

Обладнання: комп'ютер, програмне забезпечення GRAN 2D.

 

 

І. Актуалізація опорних знань.

Для розв'язування задач методом геометричних місць необхідно з'ясувати: до знаходження яких точок зводиться розв'язання задачі і які дві вимоги мають ці точки задовольняти. Далі розглядають одну з вимог задачі і будують геометричне місце точок (ГМТ), що задовольняють цю вимогу. Потім будують ГМТ, які задовольняють інші вимоги і, нарешті, знаходять точки перетину геометричних місць точок.

При вивченні тем „Перетворення подібності", „Подібність фігур" розв'язують задачі за методом подібності. Якщо дані геометричної задачі на побудову такі, що опустивши одне з них, можна побудувати безліч фігур, подібних шуканій, то спочатку будують яку-небудь з цих фігур, а потім, враховуючи опущене дане, будують шукану фігуру.

ІІ. Практична робота

 

Задача 1. Побудувати трикутник за двома сторонами і радіусом описаного кола

 

На рис. 1 показано копію вікна побудови з умовою задачі, заданими відрізками, відкритими підказками та додатковим малюнком, які можна приховати, «натиснувши» відповідну кнопку.

 

Рис. 1.

 

Проведемо аналіз даної задачі.

Нехай точка А - вершина трикутника ABC, навколо якого описане коло радіуса R. Необхідно знайти розташування інших вершин трикутника - точок В і С. Точка В, по-перше, лежить на даному колі радіуса R, а по-друге віддалена від точки А на відстань с Тобто вона лежить на перетині даного кола і кола з центром в точці А і радіусом с. Точка С також лежить на даному колі та віддалена від А на відстань b. Отже, вона лежить на перетині даного кола і кола з центром в точці А і радіусом b.

Під час побудови легко встановити, що шуканих трикутників два.

Застосування методу осьової симетрії для розв'язування задач на побудову можна проілюструвати за допомогою такої задачі.

Задача 2. Через вершину А трикутника ABC і точку D основи ВС проведено пряму. Знайти на цій прямій точку М, з якої відрізки BD і CD видно під рівними кутами.

Для розв'язування задачі слід використати правило-орієнтир. По-перше, необхідно припустити, що задача розв'язана, тоді обрати певну симетрію стосовно або даної прямої, або прямої, яку легко побудувати та замінити один із даних елементів симетричним щодо обраної осі симетрії. У цій задачі пряма AD буде розглядатись як вісь симетрії, а точка С - об'єкт симетрії (рис. 2).

 

Отже, учням можна дати підказку: побудувати точку Сі симетрично до С відносно прямої AD,   використовуючи послугу

Симетрія відносно точки (прямої)

Маючи на екрані точки В і С, неважко здогадатися провести пряму через ці точки, яка перетне пряму AD в точці М. Далі пропонуємо учням перевірити, чи є точка М шукана? Для цього спочатку

можна провести дослідження, вимірявши градусну міру кутів АМВ і АМС з допомогою інструмента  , а потім аналітично довести рівність цих кутів (очевидно, пряма AM є бісектрисою кута ВМВі чи CMC і).

Обчислення кута за трьома точками

Оскільки модель геометричної побудови в ППЗ GRAN-2D є динамічною, то учням доцільно поставити завдання на дослідження. Спробуйте змінити положення точки D на основі ВС. Чи можна знайти точку М, побудувавши точку В і симетрично до В відносно AD? Який із способів і в якому випадку буде більш зручним? Коли задача матиме безліч розв'язків?

До малюнка бажано створити кілька кнопок, за допомогою яких приховувати і послідовно відкривати підказки. Завдяки цьому імітується евристичний діалог школяра з учителем. За кнопкою можна приховувати навідні або додаткові запитання для учня. Це також допомагає школяреві вдосконалювати навички самоконтролю.

Метод повороту застосовується в задачах на побудову многокутників, вершини яких лежать на трьох даних лініях (прямих чи колах). Наприклад така задача.

 

Задача 3. Побудувати прямокутний рівнобедрений трикутник, вершини якого лежать на трьох паралельних прямих.

 

Для пошуку способу розв'язання необхідно провести аналіз задачі. Нехай трикутник ABC -шуканий і його вершини лежать на паралельних прямих а, Ь, с (рис. 3). Оскільки  А=90° і АС=АВ, то виконуємо поворот прямої а навколо точки А на 90°. При цьому пряма а перейде в а\. Отже, точка В є точкою перетину прямих. Знаючи положення точки В, знайдемо і положення точки С, виконавши поворот В навколо А в протилежному напрямі.

На основі аналізу знаходимо план побудови.

 

Рис. 3

На закріплення проводимо самостійний розв'язок задач на побудову квадрата, три вершини якого лежать на паралельних прямих; на побудову рівностороннього трикутника, вершини якого лежать на трьох паралельних прямих та ін.

 

Задача 4. У даний трикутник ABC вписати ромб з даним гострим кутом а так, щоб одна з його сторін лежала на основі АС трикутника, а дві його вершини - на бічних сторонах АВ і ВС.

 

Нехай ромб DNRP - шуканий (рис. 4). Опустимо вимогу - одна із вершин ромба лежить на стороні ВС трикутника. Побудуємо ромб DiNiRiPi з кутом Db що дорівнює даному. Далі, перш ніж продовжувати аналіз, учням доцільно запропонувати виконати дослідження, в результаті якого вони повинні встановити, що якщо для точки Ri ввімкнути функцію Властивості сліду/Залишати слід (контекстне меню точки Ri), то при переміщенні точки Е>і вздовж АС, точка Ri залишатиме слід у вигляді прямої, яка проходить через точку А.

Отже, з вершини А трикутника як з центра гомотетії можна провести через вершину Ri ромба пряму AR, яка буде геометричним місцем відповідних вершин ромбів, гомотетичних побудованому і таких, що задовольнятимуть всі умови задачі, крім опущеної. Тому точка перетину прямої ARi із стороною ВС трикутника - шукана вершина ромба.

Звідси випливає побудова. На стороні АС будуємо довільну точку Di. Від прямої DiC відкладаємо кут, рівний даному. При цьому бажано застосовувати не послугу Дуга, а виконати побудову так, як це школярі повинні робити вручну. Щоб не захаращувати креслення, допоміжні побудови слід приховати, знявши позначки у Переліку об 'єктів.

На сторонах побудованого кута будуємо ромб DiNiRiPi. Проводимо пряму ARb яка перетинає ВС в точці R Будуємо RP||RiPb RN||NiRb ND||NiDb DNRP - шуканий ромб.

 

Рис.4

Іноді побудова фігури є досить важкою тільки через те, що частини цієї фігури занадто віддалені одна від одної і тому важко ввести в малюнок дані елементи. Зближення елементів фігур зручно здійснювати методом паралельного перенесення, суть якого полягає в тому, що яку-небудь частину фігури паралельно переносять на деяку відстань у певному напрямі, завдяки чому дістають допоміжну фігуру, яку легко побудувати. Побудувавши допоміжну фігуру, виконують паралельне перенесення в протилежному напрямі на ту ж саму відстань. Дістаємо шукану фігуру.

 

ІІІ. Рефлексія.

Пропонуємо учням висловитися з питань:

1.Чи допомогла мені практична робота засвоїти навички побудови за допомогою програмних засобів?

2. «Я вважаю, що набуті знання і навички можна використати для…

 

ІV. Підсумок уроку.

Оцінювання роботи учнів (відмічається активність учнів).

 

V. Домашнє завдання.

 

 

1.Жалдак М.І. Педагогічний потенціал комп’ютерно-орієнтованих систем навчання математики // Комп'ютерно-орієнтовані системи навчання: зб. наук. праць. - К.:НПУ ім. М.П. Драгоманова. - Випуск 7. - 2003. - 263 с.

2.Горошко Ю.В. Методика вивчення ППЗ GRAN 2D на уроках інформатики та його застосування в планіметрії // Комп’ютер в школі та сім’ї. – 2008. – № 3. –  С. 14-22.

3.Крамаренко Т.Г. Уроки математики з комп’ютером: посіб. для вчителів і студ. / за ред. М.І.Жалдака. – Кривий Ріг, 2008. – 272 с.

4.Костюченко А.О. Деякі особливості геометричних перетворень в програмі GRAN 2D // Науковий часопис НПУ ім. М.П.Драгоманова: зб. наук. праць. – К., 2007. – Вип. 5 (12). – С. 114-119.

5.Яценко С.Є. Дослідницька діяльність при вивченні планіметрії як потужне джерело розвитку самобутності і самоцінності учнів // Дидактика математики: проблеми і дослідження: міжн. зб. наук. робіт. – Донецьк, 2007. – Вип. 28. – С. 169-177.

6.Жалдак М.І. Комп’ютер на уроках математики: Посібник для вчителів – К.: Техніка, 1997. – 303 с.

7.Смалько О.А. Використання комп’ютера на уроках математики в школі: Методичні рекомендації – К.: Видавництво РННЦ «ДІНІТ», 2000. – 118 с.