Теорія корисності і рівновага споживача

Для визначення корисності розглянемо вибір особи за умов ризику, який формалізується за допомогою поняття лотереї. Для цього необхідно з множини пред’явлених експертам значень певного економічного показника (об’єкта) виділити два х* та х* таких, що х*~<х для всіх х* Х та х*>~х для всіх х Х, тобто найменше пріоритетне, в певному сенсі, значення економічного показника (це буде “нуль” даної шкали інтервалів) і найбільш пріоритетне у певному сенсі значення показника (разом з “нулем” воно визначить масштаб даної шкали). Власне так побудована функція корисності Дж. Неймана і О. Моргенштерна.

Експерти пропонують порівнювати альтернативу: 1) значення показника х; 2) лотерею: одержати х* з імовірністю (1-р) чи х* з імовірністю (р). Величину ймовірності р змінюють доти, доки, на погляд експерта, значення показника х і лотерея L (x*, p, х*) не стануть еквівалентними. Максимальному та мінімальному значенням х* та х* приписують довільні числові значення U*=U (x*) та U*=U (x*), але так, щоб U*>U*. Під лотереєю L (x*, p (х), х*) розуміють ситуацію, в якій особа може отримати х* з імовірністю р (х) або х* з імовірністю 1-р (х).

Корисність варіанту х визначається ймовірністю р (х), при якій особі байдуже, що обирати х – гарантовано, чи лотерею L (x*, p (х), х*), де х*, х* вектори, більш та менш пріоритетні порівняно з х. Нехай L – лотерея, що приводить до виграшів (подій) х1, х2, …, хN з відповідними ймовірностями р1, р2, …, рN. Позначимо сподіваний виграш (математичне сподівання виграшу) через х:

 

Справедлива головна формула теорії сподіваної корисності,

 

 ,

 

тобто корисність ансамблю результатів збігається з математичним сподіванням корисності результатів.

Поняття детермінованого еквівалента лотереї L є одним з основних при розгляді різних характеристик ризику і їх взаємозв’язку з функціями корисності. Детермінований еквівалент лотереї L – це гарантована сума, отримання якої еквівалентне участі в лотереї, тобто ~L. Отже визначається з рівняння U (Х) =M[U (X) ], тобто =U-1MU (x). Сподіваний виграш та детермінований еквівалент, визначені згідно з формулами, стосовно лотереї із скінченим числом можливих виграшів. Якщо можливі виграші описуються щільністю (х), то сподіваний виграш у цій лотереї дорівнює  , а детермінований еквівалент є розв’язанням рівняння  .

За своєю суттю премія за ризик (надбавка за ризик) – це сума (в одиницях виміру критерію х), якою суб’єкт керування (особа, що приймає рішення) згоден знехтувати (поступитися нею) з середнього виграшу (тобто ця сума менша, ніж математичне сподівання виграшу), за те, щоб уникнути ризику, пов’язаного з лотереєю.

Якщо особа, що приймає рішення зіштовхується з несприятливою для неї лотереєю (тобто лотереєю, що менш пріоритетна ніж стан, в якому вона у даний час знаходиться), то природно виникає питання, скільки вона заплатила б (в одиницях виміру критерію х) за те, щоб не брати участі у цій лотереї (уникнути її).

На рис. 1 показано, як графічно можна зобразити ставлення особи до ризику. Крива, що задає рівень корисності (на осі ординат), котрий може бути досягнутий за відповідним рівнем доходу (відкладеного в графіку на осі абсцис). Ця крива ілюструє несхильність особи до ризику.

 

Рис. 1. Функція корисності особи, що несхильна до ризику

 

На основі функції корисності в декартовій системі координат можна представити криву байдужості. Розглянемо її економічну сутність. Чим більше середньоквадратичне відхилення – тим гірше (за інших однакових умов). У свою чергу, чим біль-ший сподіваний прибуток – тим краще. Припустимо, що середньоквадратичне відхилення доходу певного проекту збільшується. У цьому разі його корисність зменшується. Для того, щоб зберегти корисність на попередньому рівні, необхідно збільшити сподіваний прибуток. Таким чином, сподіваний прибуток може компенсувати величину ризику. Таким чином, криві байдужості – це комбінація сподіваних доходностей і відповідних їм ризиків, які мають однакову корисність для інвестора, це лінія, що об'єднує еквівалентні, з точки зору певної особи, комбінації: «сподіваний прибуток – ступінь ризику».

 

Характерний вигляд таких поверхонь байдужості зображений на Рис. 2

 

Будемо позначати сподіваний прибуток через U, а середньоквадратичне відхилення доходу (ступінь ризику) через а.

Звернемо увагу на точку А. В області 1 містяться заздалегідь кращі комбінації «сподіваний прибуток – ступінь ризику», оскільки в цій області сподіваний прибуток більший, а ступінь ризику менший. Аналогічно область 3 містить заздалегідь гірші комбінації, оскільки сподіваний дохід тут менший, а ступінь ризику – більший. Отже, поверхня байдужості, яка містить еквівалентні сполуки, повинна проходити через об-ласті 2 та 4. Користуючись цими міркуваннями, можна з'ясувати, що поверхня байдужості U3 містить сполуки з більшою корисністю, ніж U2 та U1, а U2 – з