Умови практичної стійкості дискретних системі функції Ляпунова

УДК  517.929.4; 517.962.24

 

 

О.М. БАШНЯКОВ, В.В. ПІЧКУР, І.В. ХІТЬКО

 

В статті розглядаються питання побудови оптимальних оцінок множин початкових даних та фазових обмежень для дискретних систем за допомогою методу функцій Ляпунова. Для лінійних дискретних систем за опуклих фазових обмежень одержано оптимальні оцінки множини початкових умов у вигляді кулі та еліпсоїда.

Дослідження, пов’язані з дискретними системами, широко представлені у науковій літературі у зв’язку з розвитком обчислювальних методів і підходів до моделювання та оптимізації складних систем. Крім того, поведінка значної кількості біологічних, соціальних, економічних, технічних систем описуються дискретними системами [1-6].  Результати, пов’язані  з аналізом  стійкості дискретних  систем  на  основі методу функцій Ляпунова висвітлено в роботах [7-22]. Важливим з прикладної точки зору є дослідження стійкості на фіксованому інтервалі часу при заданих фазових обмеженнях. Основні підходи до задач практичної стійкості висвітлено в роботах [8,9,15,16,23-25], у працях [8,9,16,24] розвиваються методи практичної стійкості дискретних систем. При цьому центральною постановкою є задача про знаходження оптимальної множини початкових умов та її оцінка в еліпсоїдальних формах. Такі задачі мають суттєве прикладне значення. Наприклад, для розрахунку області захоплення частинок у процес прискорення у системах прискорення  і  фокусування  необхідно  застосовувати  чисельні  алгоритми  визначення оптимальних областей практичної стійкості [8,23].

Стаття присвячена побудові оптимальних оцінок множин початкових данних та фазових обмежень для дискретних систем за допомогою методу функцій Ляпунова. Одержано необхідні і достатні умови

практичної стійкості, запропоновано підхід до знаходження функції Ляпунова. На основі отриманих тверджень  досліджується задача практичної стійкості лінійних дискретних  систем за  опуклих фазових

обмежень. Одержано оптимальні оцінки множини початкових умов у вигляді кулі та еліпсоїда, а також оцінки фазових обмежень за умови поділу.

В роботі отримано необхідні і достатні умови практичної стійкості, запропоновано підхід до знаходження оптимальної функції Ляпунова. Для задачі практичної стійкості лінійних дискретних систем за опуклих фазових обмежень одержано оптимальні оцінки множини початкових умов у вигляді кулі та еліпсоїда, а також оцінки фазових обмежень за умови поділу.

 

1. Dash A.T., Cressman R. Polygamy in human and animal species // Math. Biosci. – 1988. – Vol.88, No.1. – P.49-456.
2. Hsieh Y. The phenomenon of unstable oscillation in population models // Math. Comput. Model.– 1988. – .10, No. 6. – P.429-435.
3. Rondoni L. Autocatalytic reactions as dynamical systems on the interval // J. Math. Phys. – 1993. –Vol.34, No. 11. – P.5238-5251.
4. Sedaghat H. A class of nonlinear second order difference equations from macroeconomics // Nonlinear Anal. Theory, Methods, Appl. – 1997. – Vol.29, No. 5. – P.593-603.
5. Simonovits A. Chaotic dynamics of economic systems // Szigma – 1985. – Vol.18. – P.267-277.
6. Tchuente M., Tindo G. Suites generees par une equation neuronale a memoire (Sequences generated by a neuronal recurrence equation with memory // C. R. Acad. Sci., Paris. – 1993. – Vol.317, No. 6, P.625-
7. 630.
8. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление. - М.: Высшая школа, 2001. – 239 с.
9. Бублик  Б.Н.,  Гаращенко  Ф.Г.,  Кириченко  Н.Ф.  Структурно-параметрическая  оптимизация  и устойчивость динамики пучков. – К.: Наукова думка, 1985. – 304 с.
10. Гаращенко Ф.Г., Куценко И.А. Практическая устойчивость дискретных процесов, оценки и их оптимизация // Проблемы управления и информации – 1997. – №5. – с. 50-61.
11. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. – М.: Мир, 1971. – 309 с.
12. Antsaklis P., Michel A. Linear Systems. – Boston: Birkhäuser, 2006. – 670 p.
13. Basson M., Fogarty M. J. Harvesting in discrete-time predator-prey systems // Math. Biosci. – 1997. –
14. Vol.141, No.1. – P. 41-47.
15. Galor O. Discrete Dynamical Systems. – Berlin: Springer, 2007. – 158 p.
16. Hespanha J., Liberzon D, Teel A. Lyapunov conditions for input-to-state stability of impulsive systems // Automatica – 2008. – Vol. 44, Issue 11. – P. 2735-2744.
17. Lakshmikantham V., Leela S., Martynyuk A.A. Practical Stability of Nonlinear Systems. –  Singapore:
18. World Scientific, 1990.
19. Martynyuk A.A. Stability analysis of discrete systems // International Applied Mechanics – 2000. –
20. Vol.36, No. 7. – P. 3-34.
21. Martynyuk A.A.  Stability by Lyapunov's Matrix Function Method with Applications.  – NY:Marcel
22. Dekker, 1998.
23. Michel A, Hou L, Liu D. Stability of dynamical systems. – Boston: Birkhäuser, 2008. – 515 p.
24. Michel A., Miller R. Qualitative analysis of large scale dynamical systems. – AP, 1977. – 307 p.
25. Potzsche C. Geometric theory of discrete nonautonomous dynamical systems. – Berlin: Springer, 2010. – 430 p.
26. Xiushan  C,  Xiaodong  W,  Ganyun  L.  Stabilization  of  discrete  nonlinear  systems  based  on  control
27. Lyapunov functions // Journal of Systems Engineering and Electronics – 2008. – Vol.19, Issue 1. – P. 131-133.
28. Zhong  L.,  Lin H.  Some  problems  of  second method  of  Lyapunov.  In  discrete  systems  //  Applied Mathematics and Mechanics – 1988. – Vol. 9. – P.1175-1181.
29. Башняков О.М., Гаращенко Ф.Г., Пічкур В.В. Практична стійкість, оцінки та оптимізація. – К.: Київський університет, 2008. – 383 с.
30. Гаращенко Ф.Г., Башняков А.Н. Анализ сходимости итерационных процедур на основе методов практической устойчивости // Проблемы управления и информатики. – 1999. – №2. – С.15-25.
31. Мартынюк А.А. Практическая устойчивость движения. – К.: Наукова думка, 1983. – 248 с.