Зростання і спадання функції. Екстремуми

Предмет:

Математика

Тип роботи:

Лекція

К-сть сторінок:

Мова:

Українська

Оцінка:

Зростання і спадання функції. Екстремуми

1. Необхідні умови зростання і спадання функції

Теорема. (необхідна умову зростання функції на інтервалі)

Якщо диференційована функція f (x), x (a; b) зростає на інтервалі (a; b), то для будь-якого х із інтервалу (a; b).

Доведення. Згідно з означенням зростаючої на (a; b) функції, якщо хх0, то f (х) f (х0), а якщо х х0, то f (х) f (х0). Отже, для будь-яких х0 і х із (a; b), хх0, справедлива нерівність

Оскільки f (х) диференційована на (a; b), то, переходячи до границі в останній нерівності при хх0, дістанемо:

Теорему доведено.

Розглянемо тепер теорему про необхідну умову спадання функції на інтервалі.

Теорема. (необхідну умову спадання функції на інтервалі)

Якщо диференційована функція f (х), x (a; b), спадає на інтервалі (a; b), спадає на інтервалі (a; b), то для будь-якого х0 з інтервалу (a; b).

Доведення. Оскільки функція f (х) спадна, то функція F(x)=-f(x) зростаюча, і тому, за теоремою 1, для будь-якого x0 (a; b). Звідси випливає, що для будь-якого x0 (a; b). Теорему доведено.

Інтервали, на яких функція зростає або спадає, називаються інтервалами монотонності цієї функції. Зауважимо без доведення, що якщо функція f (х) зростаюча (спадна) на інтервалі (a; b) і неперервна в точках a і b, то вона буде зростаючою (спадною) і на відрізку [a; b].

2. Достатні умови зростання і спадання функції

При доведенні теорем про достатні умови монотонності функція переважно використовується теорема, яку називають теоремою Лагранжа.

Теорема Лагранжа (Достатні умови зростання і спадання функції):

Якщо функція f (х), x [a; b], неперервна на відрізку [a; b] і диференційована на інтервалі [a; b], то знайдеться точка с (a; b) така, що має місце формула

Геометричний зміст цієї теореми. На графіку функції розглянемо точки A(a; f(a)) i B(b; f(b)). Неважко помітити, що кутовий коефіцієнт січної (АВ), яка проходить через точки А і В, дорівнює , Запишемо формулу (1) в такому вигляді

Згадуючи геометричний зміст похідної, можна сказати, що формула (2), а отже, й формула (1) означають таке: на інтервалі (a; b) знайдеться точка с така, що кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції в точці С з абсцисою, яка дорівнює с, збігається з кутовим коефіцієнтом січної (АВ), тобто існує дотична до графіка заданої функції, яка паралельна січній (АВ).

Рис.1

Теорема. (достатня умова зростання функції)

Якщо функція має додатню похідну в кожній точці інтервалу (a; b), то функція зростає на інтервалі (a; b).

Доведення. Нехай х1 і х2 – дві довільні точки інтервалу (a; b), які задовольняють умови х1 х2. Тоді, за теоремою Лагранжа, існує така точка с (х1;х2) така, що

Оскільки за умовою теореми i x2-x10, то з останньої формули випливає, що (х2) (х1). Останнє, згідно з означенням зростаючої функції, означає, що функція зростає на інтервалі (a; b). Теорему доведено.

Аналогічно доводять і наступну теорему про достатню умову спадання функції.

Теорема. (достатня умова спадання функції)

Якщо функція має від’ємну похідну в кожній точці інтервалу (a; b), то функція спадає на інтервалі (a; b).

Отже,

Якщо f'(x) > 0 на проміжку, то функція f(x) зростає на цьому проміжку.

Якщо f(x) < 0 на проміжку, то функція f(x) спадає на цьому проміжку.

Ці два твердження називаються ознака¬ми зростання (спадання) функції на про¬міжку.

Правило знаходження інтервалів монотонності

1) Знайти область визначення заданої функції у = f(x).

Обчислимо похідну заданої функції , а потім знаходимо точки, в яких дорівнює нулю або не існує. Ці точки називаються критичними для функції .

2) Критичними точками область визначення функції розбивається на інтервали, на кожному з яких похідна зберігає свій знак. Ці інтервали є інтервалами монотонності.

3) Дослідимо знак на кожному із знайдених інтервалів.

Розв'язати нерівності:

а) f'(x) > 0

б) f'(x) < 0.

Якщо на даному інтервалі , то на цьому інтервалі зростає, якщо ж , то на цьому інтервалі спадає.

Приклад 1. Знайти інтервали монотонності функції .

Розв’язання. Задана функція визначена й диференційована на всій числовій прямій, причому . Оскільки f /(x)0 для , то задана функція зростає на інтервалах і . Оскільки f /(x) 0 для , то задана функція спадає на інтервалі .

Приклад 2. Знайдіть проміжки монотонності функції у = х3 - 3х2.

Розв'язання

1. Область визначення функції: D(y) = R.

2. Знаходимо похідну у' = 3х2 - 6х.

3. Розв'язуємо нерівності: а) у' > 0; б) у' < 0. Розв'язуємо ці не¬рівності методом інтервалів, для цього знаходимо нулі по¬хідної: 3х2 - 6х = 0, 3х(х - 2) = 0, х = 0 або х = 2. Наносимо на координатну пряму (рис. 2) нулі похідної і ви¬значаємо знаки похідної на кожному проміжку:

Рис.2

y'(-1) = 3 • (-1)2 - 6 • (-1) = 3 + 6 = 9