Гидравлические машины

Если через какую-нибудь точку потока нормально линиям тока провести поверхность  , то получим сечение  , заключенное в пределах потока. Это сечение также называется живым сечением, но уже живым сечением потока.

Если в струйке площадью   скорости движения по отдельным линиям тока одинаковы, то в единицу времени по струйке протекает определенное количество жидкости, измеряемое произведением площади ее живого сечения на скорость движения. Это количество жидкости называют элементарным расходом.

 

Расход потока равен сумме элементарных расходов струй, пересекающих живое сечение потока:

 

  (6.1)

 

Закон распределения скорости   по живому сечению на известен, поэтому проинтегрировать уравнение расхода (6.1) не представляется возможным. Для решения задачи используем понятие о средней скорости потока в рассматриваемом живом сечении. В соответствии с этим понятием примем, что все частицы движутся с одинаковой средней скоростью  . Тогда в уравнении (6.1) можно заменить переменную скорость   постоянной средней скоростью  :

 

 . (6.2)

 

Из зависимости (6.2) может быть получено выражение для средней скорости в таком виде:

 

  (6.3)

 

Следовательно, средняя скорость потока в рассматриваемом живом сечении есть частное от деления расхода потока на площадь его живого сечения.

Используя свойства элементарной струйки (непроницаемость поверхности и сохранение формы во времени) выведем для нее уравнение неразрывности.

 

Рис. 6.5

 

Сечениями 1-1 и 2-2 выделен некоторый объем жидкости (Рис. 6.5). за время   указанные сечения переместятся в положение 11 11 и 21-21. учитывая, что приток жидкости через поверхность струйки невозможен и что жидкость несжимаема и движется сплошной массой (без пустот),можно утверждать, что объемы жидкости 1-11 и 2-21 (заштрихованные участки) равны. Каждый из указанных объемов вычисляем как объем цилиндров.

 

  (6.4)

 

После сокращения на   получим:

 

  (6.5)

 

Подобные соотношения можно составить для любых двух сечений струйки, поэтому в более общем виде получаем, что всюду вдоль струйки справедливо:

 

  (6.6)

 

Уравнение (6.6) называется уравнением неразрывности для элементарной струйки. Переходя к потоку в целом и используя понятие средней скорости, получим уравнение неразрывности для потока:

  (6.7)

 

Из уравнения (6.7) следует, что:

 

 , (6.8)

 

т.е. средние скорости в поперечных сечениях потока при неразрывности движения обратно пропорциональны площадям этих сечений.

 

 

Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости можно получить из дифференциальных уравнений равновесия покоящейся жидкости (5.1), приведенных в разделе 5.2 (Основное уравнение гидростатики). Эти уравнения отнесены к единице массы. Поэтому, для описания равновесия движущейся жидкости, к уравнениям (5.1) надо добавить силы инерции, также отнесенные к единице массы.

Силы инерции следует определять в виде произведения массы элемента жидкости на ускорения по координатным осям: ;  ;  , где знак «минус» показывает, что силы инерции направлены в сторону, противоположную движению.

Разделив силы инерции на   и добавив в уравнения (5.1) получим уравнения движения идеальной жидкости в форме, предложенной Л.Эйлером (1755 г.):

 

 ;

 ; (7,1)

 

Если массовой силой является только сила тяжести, интеграл уравнения Эйлера можно представить в виде

 , (7,2)

 

что является уравнением Бернулли для идеальной жидкости.

Уравнение Бернулли характеризует удельную энергию жидкости. Оно имеет энергетический и геометрический смысл. Первый член уравнения   – характеризует удельную потенциальную энергию положения, второй –   – удельную потенциальную энергию давления, третий –   – удельную кинетическую энергию. Так как удельная энергия жидкости имеет размерность напора, члены уравнения Бернулли, можно представить как:   –геометрический напор,   – пьезометрический напор,   – скоростной напор.

Уравнение Бернулли можно записать для любых сечений струйки идеальной жидкости

 

  (7,3)

 

 

Так как при движении реальной (вязкой) жидкости неизбежны потери энергии то к уравнению (7.3) необходимо, для восстановления баланса энергии, добавить член, учитывающий эти потери. Тогда для элементарной трубки реальной жидкости можно записать:

 

 , (7.4)

 

где   –потеря напора, обусловленная наличием сил вязкого трения.

Потери напора могут быть определены как

 

  (7.5)

 

Для потока реальной жидкости необходимо учитывать неравномерность распределения скорости в живом сечении, вводя среднюю по сечению скорость   и неравномерность распределения по этому сечению кинетической энергии:

 

 , (7.6)

 

где   коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерность распределения кинетической энергии. При решении инженерных задач движения жидкости в трубопроводах обычно принимают  . Потери напора в потоке представлены в виде  , где учитываются потери, обусловленные различными причинами (расширением, сужением, поворотом потока и др.).

Различают линейные потери напора по длине трубопровода, обусловленные силами трения, вычисляемые по формуле Дарси-Вейсбаха

 

 , (7.7)

 

и местные потери напора, обусловленные внезапным расширением, сужением, поворотом потока и др., вычисляемые по формуле Вейсбаха

 

  (7.8)

 

В этих формулах:  –коэффициент жидкостного трения Дарси;  ,   –соответственно длина и диаметр исследуемого участка трубопровода;   – коэффициент местного сопротивления

 

 

Уравнение Бернулли устанавливает связь между давлением и скоростью в движущемся потоке жидкости. Написанное для двух поперечных сечений без учета гидравлических потерь напора, оно имеет вид:

 

 - геометрический напор, определяющий высоту положения частицы над какой-либо плоскостью сравнения 0 - 0, м;   - пьезометрический напор, м;   динамический (скоростной) напор, м.