Дидактичне забезпечення дистанційного навчання при вивченні курсу «Методика навчання математики»

Кожне поняття характеризується змістом та об'ємом.

Зміст поняття - це множина його істотних ознак. Ці ознаки вказуються в означенні або розкриваються на прикладах. Об'єм поняття - це множина предметів, які об'єднуються цим поняттям.

Наприклад, зміст поняття „паралелограм" це сукупність таких ознак:

1. чотирикутник;
2. протилежні сторони паралельні;
3. протилежні кути рівні;
4. протилежні сторони рівні;
5. діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, і т.д.

Об'єм поняття „паралелограм" складається з усіх поданих паралелограмів.

Міцне засвоєння змісту поняття створює умови для усвідомленого розуміння переказу теорії та розв'язування задач. Наприклад, якщо учень знає, що таке система рівнянь, що таке розв'язок системи двох рівнянь з двома змінними, що значить розв'язати систему рівнянь, то він в цілому чітко розуміє основні етапи розв'язання системи рівнянь з двома змінними. Йому залишається вибрати спосіб її розв'язання. В той же час прогалини в знаннях хоча б в одному кільці з вказаної системи понять можуть визвати у учня непереборні труднощі.

Часто учні не можуть довести до кінця рішення навіть простої задачі, не засвоїли зміст деяких простих понять.

Означення являються одним з основних видів математичних тверджень. 

Означеннням називають речення, в якому в мовній або символічній формі перелічуються загальні суттєві властивості, тобто розкривається зміст поняття.

Процес означення математичних понять - це процес зведення означуваного поняття до другого, з більш широким обсягом, другого - до третього з ще ширшим обсягом і т. д. Оскільки такий процес не може бути нескінченним, виникає потреба у первісних поняттях, яким не дається означення. 

У шкільному курсі математики до таких понять належать поняття: натуральне число, множина, точка, пряма, площина, відношення «належати», «лежить між», довжини відрізка, градусної міри кута.

 

Перерахувати істотні ознаки поняття, часто буває складно, що можна спростувати, якщо опиратися на поняття раніше означувані. Такий спосіб означення поняття називається означенням поняття через рід та видову відмінність: в означенні спочатку вказується рід, в який означуване поняття входить як вид, а потім вказуються ті ознаки, які відрізняють це поняття від останніх видів роду.

Структура означення поняття через рід та видову відмінність може бути символічно записана так:   А=В+С, де А - означуване поняття, В родове поняття,С- видова відмінність.

Наприклад: «Паралелограмом називається чотирикутник, у якого протилежні кути рівні».

Крім означення поняття через рід та видову відмінність, в математиці широко використовуються генетичні означення.

Наприклад, „Фігура, отримана в результаті оберту прямокутного трикутника навколо одного з катетів називається конусом".

Ще один спосіб означення шляхом переліку: ,,R - числа раціональні та ірраціональні”.

Означення як умовні узгодження, ніякі означення не доводяться, можна говорити лише про доцільність цих тверджень. Наприклад:        .

Означення через абстракцію та через аксіоми. До такого способу означення звертаються в тих випадках, коли означення за допомогою роду та видової відмінності важко зробити. Це стосується означення найширших родових понять. При цьому методі означення заздалегідь розглядається різноманітніші класи об'єктів, які попадають під означуване поняття й кожен раз звертаємося до того спільного, що є в усіх цих класах.

Сукупність встановлених при цьому спільних ознак об'єднують одною спільною назвою. Таким чином формується нове поняття.

 

1)Означення повинно бути відповідним, тобто об'єми означуваного та

визначеного понять повинні бути рівними.

Наприклад: „Квадратом називається рівносторонній прямокутник". Порушення правила відповідності призводить до помилок: або до дуже широких, або до дуже вузьких означень.

Наприклад: „Паралелограмом називається многокутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні".

2)Означення не повинно містити порочного кола, тобто як означуване

не можна брати поняття, яке визначається за допомогою означуваного поняття.

Наприклад:

Вірне означення: „Прямим кутом називається кут, рівний 90°".

Й означення яке містить порочне коло: „Прямим кутом називається кут, сторони якого перпендикулярні". А поняття перпендикулярних прямих визначалося раніше через прямий кут.

3) Означення не повинно бути суперечливим.

Означення повинно вказувати ознаки, властиві поняттю, а не ознаки, якого в нього немає.

Наприклад: „Дві прямі в просторі називаються перехресними, якщо вони не перетинаються і не паралельні".

Й суперечливе означення: „Паралелограм не трапеція".

4) Означення повинно бути чітким, щоб не припустити неоднозначності. В означенні: „Подібними фігурами називають фігури, які мають однакову форму" - поняття форма само по собі потребує точного математичного означення. В цьому означенні немає чіткості та його можна розглядати як зоровий опис поняття подібності.

Кожне поняття нерозривно пов'язано з усіма останніми. Це найбільш явно відображено в математиці.

Засвоєння відношень між поняттями полегшує засвоєння учнями істотних властивостей видових понять, означення понять через рід та видову відмінність.

Два поняття називають порівняними, якщо в їх змісті є спільні ознаки. 

Порівняні поняття прийнято поділяти на дві категорії:

-сумісні поняття;     -    несумісні поняття.

Сумісними називаються поняття, об'єми яких повністю або частково співпадають. Наприклад: цілі додатні числа - натуральні числа.

Якщо об'єми понять ні в якої своєї частині не співпадають, то такі поняття називаються несумісними. Наприклад: раціональні числа -