Економіко-математична модель організації рекламної компанії

 

 

Ефективним засобом дослідження задач оптимального управління є принцип максимуму Понтрягіна, який представляє собою необхідну умову оптимальності в таких задачах.

Формулювання принципу максимуму. Розглянемо задачу оптимального управління (2. 26) :

  (2. 26)

  ,

де   (2. 27)

 ,

При цьому передбачається, що моменти to, Т фіксовані, тобто розглядається задача з закріпленим часом; множина U не залежить від часу, фазові обмеження відсутні. Покладемо

  (2. 28),

де  - константа,  .

Функція Н називається функцією Гамільтона. Система лінійних диференціальних рівнянь   відносно змінних   називається сполученої системою, відповідної управління u і траєкторії х. Тут

  (2. 29)

У більш докладної покоординатної записі сполучена система приймає вигляд

  (2. 30)

Система (2. 30) має за будь-яких початкових умовах єдине рішення  , визначене і безперервне на всьому відрізку  .

Наступна теорема висловлює необхідні умови оптимальності в задачі (2. 26).

Теорема (принцип максимуму Понтрягіна). Нехай функції   і Ф, g1,..., gm мають похідні по змінним х1,..., Хn і неперервні разом з цими похідними по сукупності аргументів х , u  U, t  [to. Т]. Припустимо, що (u, х) – рішення задачі (2. 26). Тоді існує рішення   сполученої системи (2. 29), що відповідає управлінню u і траєкторії х, і константа   такі, що |   | + ||   (t) || при t  [to, Т], і виконуються наступні умови:

а) (умова максимуму) при кожному t [to. Т] функція Гамільтона, досягає максимуму по   при v = u (t), т. е.

  (2. 31)

б) (умова трансверсальності на лівому кінці траєкторії) існують числа  , такі, що

  (2. 32)

в) (умова трансверсальності на правому кінці траєкторії) існують числа   такі, що

  (2. 33)

Центральним у теоремі є умова максимуму (2. 31). Якщо відмовитися від припущення про те, що кінцевий момент часу Т фіксований, то теорема залишиться справедливої за винятком умови трансверсальності на правому кінці траєкторії. Умову (2. 33) замінимо умовою

  (2. 34)

і додамо ще одну умову трансверсальності на правому кінці траєкторії:

  (2. 35)

Необхідність в принципі максимуму Понтрягіна виникає у разі коли ніде в допустимому діапазоні керуючої змінної неможливо задовольнити необхідній умові.

 

 

До розгляду пропонується модель компанії, яка з метою збільшення капіталу у своїй діяльності використовує рекламу. Завдання – визначити S (T) – максимальний капітал компанії за період T в середньому.

Отже, компанія буде характеризуватися S (t) – капітал, яким володіє компанія в момент t. Будемо вважати, що компанія за час [t; t + Δt] несе витрати [c0 + c1S (t) ]. Величина c0 описує постійні витрати, пов'язані з витратами на оренду, світло і т. д., а величина c1 показує витрати, пов'язані з обслуговуванням капіталу, наприклад, податки. Крім того, будемо вважати, що за час [t; t + Δt] частина капіталу αS (t) Δt виділяється на рекламу. Введемо величину R (t) – функцію ефективності реклами. Її вплив проявляється в тому, що потік покупців є пуассонівським потоком з інтенсивністю (l0 + l1R (t)), де l0 визначає інтенсивність потоку покупців без потоку. Тоді зміни капіталу за період часу  t будуть наступними:

1. Відбувається продаж товару на суму   – випадкової величини з функцією розподілу F ( ) з ймовірністю (l0+l1R (t))  t.

2. Нічого не відбувається.

Тому зміни капіталу  S (t) за момент часу  t складуть величину.

  (2. 36)

Отже, за  t S (t +  t) = S (t) +  S (t).

Усереднимо останній вираз M{S (t +  t) } = M {S (t) } + M { S (t) }.

Так як процес покупок випадковий, то величина S (t) є випадковий процес, а отже, і ступінь впливу реклами стає випадковим процесом, оскільки на рекламу виділяється частка капіталу αS (t) Δt.

Позначимо M{S (t) }=S1 (t), M{R (t) }=R1 (t), M{ }=a1.

  (2. 37)

Переносимо в праву частину S1 (t) і ділимо вираз на  t,  t 0.

  (2. 38)

Розглянемо зміну функції ефективності реклами за  t.

Будемо вважати, що на вплив реклами R (t) діють два процеси: а) процес збільшення R (t), обумовлений вкладенням в рекламу капіталу αS (t) Δt і б) процес забування реклами, пропорційний самої R (t). Тому

 , (2. 39)

  (2. 40)

де коефіцієнт   визначає швидкість забування реклами, а   – ступінь впливу грошей, вкладених в рекламу. Усереднюючи, отримаємо

  (2. 41)

або після звичайних перетворень

  (2. 42)

Отримали систему диференціальних рівнянь. Оскільки завданням є отримання максимального капіталу в кінцевий момент часу Т, то з урахуванням введених позначень функціонал буде мати вигляд S1 (t) =>