Економіко-математична модель організації рекламної компанії

  (1. 24)

Позначимо корінь цього рівняння через  , він знаходиться з рівняння (1. 25) :

  (1. 25)

й визначає оптимальний рівень впливу реклами у «стаціонарному» режимі.

Однак на цей режим ще треба вийти. Тому розглянемо випадок, коли цикл життя рекламного ролика має наступний вигляд.

Нехай рекламний ролик починає прокручуватися у момент часу  . Вплив реклами в цьому випадку починається з того значення, що залишилося після попереднього ролика, тобто з  . У першій фазі «життя» цього ролика, яка складає інтервал часу  , на проведення рекламної компанії виділяється максимальна кількість коштів  . Так продовжується до того моменту, поки не буде досягнутий стаціонарний режим.

Стаціонарний режим ведеться на інтервалі  , при цьому підтримується рівень впливу реклами, який дорівнює  . Через ефект «докучання» рівень впливу реклами згодом знижується, та коли він досягає значення  , треба запускати новий ролик. Таким чином, новий цикл визначається умовою  .

Розглянемо кожен період окремо.

1. Період розкрути реклами

Ця фаза відбувається на інтервалі часу  . Для неї виконуються умови   та  . Тоді розв’язання рівняння (1. 20) має вигляд:

  (1. 26)

Момент часу виходу з цієї частини визначається співвідношенням  , тобто рівнянням (1. 27) :

  (1. 27)

Прибуток фірми на цій частині дорівнює

  (1. 28)

2. Стаціонарний режим

Ця фаза циклу знаходиться на часовому інтервалі  . Для неї  , витрати фірми дорівнюють

 , (1. 29)

а прибуток дорівнює

  (1. 30)

Будемо вважати, що на розробку нового рекламного ролика витрачається сума  . Тоді загальний прибуток фірми впродовж всього циклу дорівнює

  (1. 31)

У якості критерію оптимальності приймемо прибуток фірми   у одиницю часу. Тоді, не враховуючи постійного доданка  , отримаємо

  (1. 32)

Зауважимо, що   входить у перший доданок через  , яке входить у  .

Вимагаючи виконання умови  , що приводить до рівняння  , отримаємо рівняння для визначення загальної довжини циклу   (1. 33) :

  (1. 33)

Зрозуміло, що розв’язати це рівняння можна лише чисельно. Якщо знайти  , то можна знайти й усі інші характеристики циклу.

Розглянемо модель рекламної кампанії зі змінною ціною товару.

Нехай залежність попит – ціна має вид  , або, у явному виді,  . Тоді прибуток фірми у одиницю часу складе  .

Знайшовши максимум цього виразу за об’ємом виробництва  , легко отримати, що цей максимум досягається при   та прибуток фірми у одиницю часу за таким об’ємом виробництва дорівнює

  (1. 34)

При цьому вражається, що ця величина позитивна, тобто виробництво рентабельне. Так як   є постійною величиною, то воно подалі враховуватися не буде.

Розглянемо ситуацію, коли фірма для збільшення прибутків витрачає частину коштів на рекламну компанію. Реклама чинить психологічний вплив на покупця, який приводить до зміни залежності попит – ціна. Розглянемо спочатку випадок, коли вплив реклами приводить к зміщенню залежності попит – ціна паралельно собі. Цей факт треба враховувати тим, що будемо вважати величину   залежною від  , тобто брати залежність попит – ціна у вигляді (1. 35)

  або   (1. 35)

Подальше будемо вважати, що   монотонно спадає з ростом  , але   монотонно спадає с ростом   та існує кінцева межа  .

У якості рівняння для величини   знову візьмемо рівняння (1. 20). Тоді об’єм товару  , що виробляється фірмою в момент часу  :

  (1. 36)

де   визначається рівнянням (1. 20).

Тоді отримаємо наступну систему рівнянь (1. 37), яка описує цю ситуацію:

  (1. 37)

з початковими вимогами  .

З першого рівняння системи (1. 37) маємо

  (1. 38)

Підставляючи сюди друге рівняння системи (1. 37), отримаємо

   (1. 39)

Останній доданок у (1. 39) не залежить від виду   й тому при розв’язанні задачі оптимізації його можна не враховувати.

Розглянемо розв’язання задачі  . Рівняння Ейлера для функціонала (1. 39) має вигляд

  (1. 40)

Позначимо корінь цього рівняння через  ; він й визначає оптимальний рівень впливу реклами в «стаціонарному» режимі.

Фаза періоду розкрути реклами проходить на інтервалі часу  . Для неї виконані умови   та  = . Тоді розв’язання рівняння (1. 20) знову має вигляд (1. 26) та момент часу виходу з цієї частини визначається співвідношенням  .

Прибуток фірми на цій частині дорівнює

   (1. 41)

Фаза стаціонарного режиму проходить на часовому інтервалі  . Для неї  , витрати фірми дорівнюють

 , (1. 42)

а прибуток

   (1. 43)

Будемо вважати, що на розробку нового рекламного ролика витрачається сума  . Тоді сумарний прибуток фірми впродовж всього циклу дорівнює

  (1. 44)

У якості критерію оптимальності візьмемо критерій виду

  (1. 45)

Це приведе до рівняння (1. 46)