Портал освітньо-інформаційних послуг «Студентська консультація»

  
Телефон +3 8(066) 185-39-18
Телефон +3 8(093) 202-63-01
 (066) 185-39-18
Вконтакте Студентська консультація
 portalstudcon@gmail.com
 facebook.com/studcons

<script>

  (function(i,s,o,g,r,a,m){i['GoogleAnalyticsObject']=r;i[r]=i[r]||function(){

  (i[r].q=i[r].q||[]).push(arguments)},i[r].l=1*new Date();a=s.createElement(o),

  m=s.getElementsByTagName(o)[0];a.async=1;a.src=g;m.parentNode.insertBefore(a,m)

  })(window,document,'script','//www.google-analytics.com/analytics.js','ga');

 

  ga('create', 'UA-53007750-1', 'auto');

  ga('send', 'pageview');

 

</script>

Економіко-математична модель організації рекламної компанії

Предмет: 
Тип роботи: 
Дипломна робота
К-сть сторінок: 
73
Мова: 
Українська
Оцінка: 
Дипломна робота
На тему:
«Економіко-математична модель організації рекламної компанії» 
 
ЗМІСТ
ВСТУП 
РОЗДІЛ 1. РІШЕННЯ ЗАВДАННЯ КЕРОВАНОСТІ ЕКОНОМІКО -МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ОРГАНІЗАЦІЇ РЕКЛАМНОЇ КОМПАНІЇ 
1.1. Поняття реклами, ефективності рекламної діяльності та проблеми її моделювання 
1.2. Види емпіричних моделей для оцінки рекламного бюджету 
1.3. Основні ідеї для побудови економіко-математичної моделі організації рекламної діяльності 
РОЗДІЛ 2. ДОСЛІДЖЕННЯ ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ОРГАНІЗАЦІЇ РЕКЛАМНОЇ КОМПАНІЇ 
2.1. Постановка задачі. Загальний вид рішення досліджуваної системи 
2.2. Методи дослідження економіко-математичної моделі організації рекламної діяльності 
2.2.1. Застосування диференціальних рівнянь у економіко-математичному моделюванні рекламної діяльності 
2.2.2. Пуасонівський потік 
2.2.3. Принцип максимуму Понтрягіна 
2.3. Чисельне розв’язання економіко-математичної моделі впливу реклами на капітал компанії 
РОЗДІЛ 3. ПРОГРАМНА РЕАЛІЗАЦІЯ ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ВПЛИВУ РЕКЛАМИ НА КАПІТАЛ КОМПАНІЇ 
3.1. Вибір середовища реалізації моделі 
3.2. Розробка програми реалізації моделі 
ВИСНОВКИ 
ПЕРЕЛІК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ 
ДОДАТОК А 
 
ВСТУП
 
Величезну роль в збереженні і зміцненні позицій фірми на ринку грає реклама. Реклама, як відомо, «двигун торгівлі». Перед будь-якою фірмою, що виробляє товар, постає проблема його збуту, і тому, як правило, в якості основної мети рекламної кампанії фірми називають збільшення збуту чи підтримка його на колишньому рівні. Збут є універсальним засобом оцінки роботи підприємства в силу його першочергової важливості. Реклама впливає на збут в основному через підвищення рівня популярності продукту і підприємства, і створення образу продукту і підприємства. Але для того, щоб реклама працювала, потрібно розробити стратегію рекламної кампанії.
Незважаючи на те, що розробка стратегії рекламної кампанії дає фірмі можливість успішно справлятися зі своїми проблемами збуту, навіть дозволяє успішніше конкурувати з іншими фірмами, її проведення ставить дуже багато питань, таких як:
‒Терміни початку рекламної кампанії і, можливо, її закінчення;
‒Кількість коштів, що виділяються на початковому етапі в період «розкрутки» товару;
‒Кількість коштів, що виділяються на рекламу, коли товар вже придбав популярність і цю популярність необхідно підтримувати;
‒Якщо попит на товар зазнає сезонні зміни, то як кошти, що виділяються на рекламу, повинні змінюватися з часом;
‒Якщо є ефект «докучання» реклами, то коли міняти рекламні ролики та інші рекламні прийоми і які кошти і в які моменти часу виділяти на зміну реклами.
Все це викликає необхідність теоретичного дослідження і розробки математичних моделей рекламних кампаній. На жаль, математична теорія реклами ще тільки зароджується і робіт у цій області дуже мало. Цим і визначається актуальність цієї роботи, в якій робиться спроба побудувати математичну модель впливу реклами на діяльність фірми та її капітал, що виробляє однорідний товар, і розглянути деякі питання оптимізації витрат на рекламу з часом.
Теорія реклами розвивалася в рамках теорії менеджменту і в більшості своїй здійснювалася зарубіжними дослідниками. Постановка і рішення цільових завдань належать таким відомим авторам, як Дж. Стіглер [48, 49], Ж. -Ж. Ламбеном [43, 48, М. Стігеману [47], М. Роберстсу [45], К. Багвелу [35-37].
Найбільш популярною при вирішенні задач, що описують системи управління рекламними комунікаціями, є теорія ігор, що застосовується С. Марковичем та У. Доразелскі [47, 48], Дж. Беккером і К. Мерфі [38] та ін
Традиційні підходи до формалізації рекламного змагання в області динамічних ігор були розроблені Дж. Еріксоном [29, 49], І. Докнером і С. Йоргенсон [45, 46]; моделі ризику, пасивні конкуруючі моделі, і моделі функції реакції споживачів – Дж. Фейхтінгером, і Р. Хартлі [41]. Теоретичні та емпіричні дослідження із застосуванням цих підходів знайшли відображення в роботах К. Діла [48], Дж. Соргера [46], Дж. Еріксона [49, 50], П. Чінтагути і Н. Вілкассіми [39-43], а в контексті емпіричних динамічних ігор олігополії – в працях М. Роберста, JI. Самуельсона [45], Ф. Гасмі [42].
М. Відал і X. Вольф [50] на основі робіт К. Ланкастера розвинули альтернативний напрям, що передбачає, що рекламування безпосередньо впливає на зміну обсягів продажів і розширення ринкової частки фірми.
Серед вітчизняних досліджень слід зазначити роботи І. П. Бородіної [30-34]. Найбільшим математичним рівнем відрізняються роботи Д. Д. Ахмедовой, О. А. Змєєва, В. М. Каца, К. І. Лівшиця і А. Ф. Терпугова за впливом реклами на діяльність страхової компанії [1-3, 13, 39].
У цих роботах автори описують ступінь впливу реклами на прибуток деякою функцією R (t), яка змінюється з часом і яка залежить від величини коштів a (t), що виділяються на рекламну кампанію. Вважається, що ця функція впливає на інтенсивність потоку клієнтів, охочих застрахувати свої ризики. Всі зазначені вище автори розглядають лише лінійний випадок (роботи О. А. Змєєва [3]). У цьому простому випадку не враховується ефект післядії реклами і вважається, що вона миттєво забувається після закінчення рекламної кампанії.
У всіх цих роботах розглядається задача про визначення оптимального виду функції. Для вирішення завдання використовується принцип максимуму Понтрягіна і у всіх випадках виходить, що управління витратою коштів на рекламу має релейний характер, тобто в якийсь момент витрати на рекламу «включаються» і в якийсь момент витрати на рекламу «вимикаються».
Слід зазначити, що в зазначених вище роботах враховуються деякі специфічні риси, притаманні діяльності страхових компаній, так що ці результати не носять універсального характеру.
Метою цієї роботи є розробка математичної моделі впливу реклами на діяльність фірми та її капітал, що виробляє деякий однорідний товар. Завдання – визначити S (T) – максимальний капітал компанії за період T в середньому.
Завдання, поставлені в роботі:
‒Розкрити сутність реклами та її застосування;
‒Описати види моделей для оцінки рекламного бюджету, недоліки та переваги;
‒Розглянути основні методи дослідження впливу реклами на капітал компанії;
‒Побудувати модель економіко-математичного розрахунку;
‒Розробити програмну реалізацію моделі впливу реклами на капітал компанії.
Дипломна робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел та додатків.
Інформаційною базою для написання роботи слугували наукові праці вітчизняних та зарубіжних економістів, статті періодичних видань та джерела Інтернет.
 
РОЗДІЛ 1. РІШЕННЯ ЗАВДАННЯ КЕРОВАНОСТІ ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ОРГАНІЗАЦІЇ РЕКЛАМНОЇ КОМПАНІЇ
 
1.1. Поняття реклами, ефективності рекламної діяльності та проблеми її моделювання
Реклама продукції і діяльності підприємства – це найважливіша складова частина комплексу маркетингових заходів, своєрідний інформаційний вихід на споживача. У період переходу народного господарства країни до ринкової економіки, коли багато виробничих підприємств, об'єднання, концерни й інші організації стали незалежними, нормальне їхнє функціонування в цих економічних умовах практично неможливо без добре організованої комплексної маркетингової діяльності. Ринкова економіка, як показує досвід багатьох розвинених країн, не може функціонувати без інституту реклами. Реклама – внутрішньо властивий елемент ринку, один з найважливіших інструментів його розвитку [12, c. 56].
Реклама в ринковій економіці має широкий спектр застосування і виконує безліч функцій. Саме тому у вітчизняній і зарубіжній економічній літературі існує безліч формулювань терміну « реклама «.
Під рекламою згідно з Законом України « Про рекламу « розуміється спеціальна інформація про осіб чи продукцію, яка розповсюджується в будь-якій формі і в будь-який спосіб з метою прямого або опосередкованого одержання прибутку [1, с. 17].
З точки зору маркетингу, реклама – це інформація про фізичну або юридичну особу, товари, ідеї і почини, яка призначена для невизначеного кола осіб і покликана формувати або підтримувати інтерес до цих фізичних, юридичних осіб, до товарів, ідей і сприяти реалізації товарів, ідей і починів.
Зарубіжні автори дають декілька інші визначення реклами, але майже всі спеціалісти зазначають, що реклама як найважливіша складова частина маркетингової діяльності є своєрідним інформаційним виходом на потенційних споживачів, клієнтів і ділових партнерів.
Є. В. Ромат, головний редактор українського науково-практичного журналу «Маркетинг та реклама», член Правління Спілки рекламістів України розкриває поняття реклами так: «Реклама – це коштовний, односпрямований та персональний оборот, що здійснюється через засоби масової інформації та інші види зв'язку, які агітують на користь будь-якого товару, марки, фірми» [39, с. 17].
Реклама – це найдорожчий інструмент маркетингу, загальним завданням якого є:
‒створення репутації фірмі – виробнику чи посереднику;
‒збільшення чистого прибутку та рентабельності фірми;
‒збільшення потоків покупців та обсягів продажу;
‒стабілізація обсягів продажу в період зменшення попиту та загального спаду ділової активності [19, с. 17].
Владимирська, Г. О. в своїй праці «Реклама» наголошує, що реклама – це інструмент збільшення і вторинного попиту, що приводить до інтенсивного розвитку маркетингу. Такий розвиток маркетингу буде можливим в Україні тоді, коли понад 50% покупців перейдуть із категорії потенційних у категорію фактичних покупців продукції широкого вжитку, зокрема й найдорожчої (автомобілі, телевізори, телефони та ін.) [6, с. 36].
Реклама допомагає фірмі створити коло надійних клієнтів, які постійно купують її товари та завдяки прихильності до неї залучають нових покупців.
Реклама допомагає збільшити конкурентоспроможність товарів фірми, щоб розширити її частку ринку за рахунок конкуруючих товарів, коли вторинний попит стабілізувався чи виявився вже насиченим, а первинний попит іще не зовсім розвинувся. Якщо об’єктивні характеристики багатьох товарів виявляються схожими, виокремлення товару (його позиціювання) має базуватися на символічній або суто психологічній цінності товару. У такому разі реклама наголошує на соціальній значущості товару чи його уявній престижності. Крім того, використовується реклама масового впливу, що дає можливість фірмі захопити частку ринку (чи утримати її), витіснити конкурентів або принаймні не поступатися їм. Проте цього можна досягти лише значним коштом та настільки гучним «криком», щоб за ним не чутно було «крику» інших, а це не завжди можливо.
Збільшити конкурентоспроможність допомагає стимулювальна реклама в засобах масової інформації про розпродаж за зниженими цінами та про інші стимулювальні заходи. При цьому також вирішується основне завдання маркетингу: змінити поведінку потенційних покупців, породити в них бажання придбати товар, забезпечити ефективний за конкретної ситуації та за чинного законодавства маркетинг товару чи послуги.
Як важливий інструмент маркетингової політики фірми реклама має інформувати споживачів про наявність товару, його ціну, техніко-експлуатаційні характеристики, переваги стосовно аналогічної продукції конкурентів, місце, де товар можна придбати, і т. п. Однак передовсім сучасна реклама має спонукати до купівлі, тому що в цьому й полягає її сутність та основна функція.
Балабанова Л. В. в книзі «Комерційна діяльність: маркетинг і логістика» зазначила, що рекламній діяльності необхідно керуватися такими основними принципами:
реклама мусить створити, підтримати, поглибити імідж фірми та її товару (послуги) ;
‒реклама мусить поліпшити імідж давно створеного товару;
‒реклама має змусити покупця купувати товар у період спадання попиту;
‒реклама має зацікавити покупця, який належить до ще неохопленого сегмента ринку;
‒реклама має спростувати те, що може стати причиною упередженого або неприхильного ставлення до товару чи послуги, сприяти тому, щоб у майбутнього споживача з’явилося бажання придбати цей товар [1, с. 112].
Суб’єктом рекламування є рекламна аудиторія, яка поділяється на значну кількість цільових груп, щоб краще вивчити та максимально задовольнити їхні потреби.
Стосовно носіїв рекламні звернення поділяються на:
‒рекламні оголошення в газетах;
‒рекламні оголошення на радіо;
‒рекламні оголошення на телебаченні;
‒рекламні проспекти;
‒презентаційні книги;
‒каталоги;
‒бланки замовлень;
‒купони для замовлень;
‒рекламні листки;
‒анкети;
‒магнітофонні записи;
‒відеозаписи тощо.
Сутність реклами розкривають функції, які виконує реклама. За визначенням, функції реклами – це прояв на практиці, у дії такої категорії, як «реклама», спосіб вираження притаманних цій категорії властивостей у практичній діяльності рекламодавців.
Фахівці розглядають дев’ять функцій реклами: інформативну, маркетингову, економічну, комунікативну, управлінську, політичну, культурну, суспільну та освітню.
Інформативна функція реклами полягає в забезпеченні споживачів напрямленим потоком інформації про виробника, його товари, зокрема про їхню споживчу вартість.
Маркетингова функція виявляється як засіб формування попиту та стимулювання продажу товарів і реалізується наданням найменувань товарного ряду та диференціацією окремих марок товарів; повідомленням про товар; стимулюванням зацікавленості потенційних покупців щодо нових товарів та підтримкою повторних купівель і формуванням постійної клієнтури; оптимізацією продажу товарів, а також забезпеченням прихильнішого ставлення до даного товару, ніж до товару конкурента, або принаймні лояльності до нього.
Однією з найважливіших функцій реклами є комунікативна функція. Цю функцію реклама реалізує, підтримуючи зворотний зв’язок із ринком споживачів та ринком продавців (конкурентів). Рекламна комунікація має на меті вплинути на свідомість покупця (споживача), змусивши його купити цей товар або хоча б побажати його купити в майбутньому.
Управлінська функція реклами полягає в тім, що реклама як складова маркетингового менеджменту виконує функцію управління попитом. Економічно грамотно визначивши потреби в певному товарі, реклама може сформувати попит і керувати ним як у просторі, так і в часі за допомогою календарного медіа-планування, тобто показу певній аудиторії з певною частотою та в певний проміжок часу рекламного звернення в засобах масової інформації.
Політична функція реклами виявляється у двох аспектах. По-перше, реклама є складовою маркетингової політики комунікацій, і тоді термін «політика» означає спосіб дій, спрямованих на досягнення мети, яка повністю відповідає функціям реклами, її головному завданню – активній діяльності на ринку, у ринковому середовищі конкурентів та потенційних споживачів. По-друге, як відзначають фахівці у сфері рекламного бізнесу, політичну рекламу пов’язують із популяризацією певної особи, політичної партії чи ідеї.
Освітня функція реклами полягає в тім, що у процесі впровадження нових товарів і технологій вона сприяє поширенню знань про різноманітні сфери людської діяльності та новітні досягнення науки, прищеплюючи споживачам практичні навички використання сучасних товарів та технологій.
Суспільна функція реклами визначається її здатністю формувати підвищені потреби й суспільні стандарти споживання та певного стилю життя, на який потрібно орієнтуватися, намагаючись його досягти.
Культурна функція реклами зумовлюється тим, що вона є своєрідним продуктом художньої творчості, певним витвором мистецтва, а отже, впливає на формування смаків та загальний культурний розвиток цільової аудиторії споживачів. І не тільки споживачів, а й конкурентного середовища, яке активно використовує всі сучасні та перспективні методи впливу на потенційних покупців. Особливо значною є роль реклами в естетичному вихованні нації, формуванні певного її менталітету.
Однією з основних функцій реклами є її економічна функція. Інформуючи про нові товари, послуги або ідеї, розкриваючи їхні переваги та схиляючи потенційних споживачів до пробної, а згодом – і до повторної купівлі цих товарів, реклама обґрунтовує вигідність таких дій для споживачів («помірна ціна за високої якості»), активізує продаж відповідних товарів і розвиває торгівлю як галузь, не кажучи вже про виробництво з його основною метою – отримати якомога більший прибуток.
Фахівці з рекламного бізнесу вважають, що в результаті застосування реклами можна досягти багатьох ефектів (рис. 1. 1) :
‒Вплив реклами може забезпечити таку поінформованість стосовно торгової марки, що в разі зустрічі з цією маркою виникатиме відчуття старого знайомства.
‒Інформація про переваги торгової марки та її атрибути завдяки наступальній активності рекламного звернення сприймається споживачем із великою зацікавленістю.
‒Реклама здатна генерувати почуття цільової аудиторії, які асоціюватимуться в неї з даною торговою маркою або її використанням (застосуванням).
 
 Рис. 1. 1. Модель ефектів від застосування реклами [19, с. 65].
 
Вдалий вибір рекламного фону, різних технічних (художніх, музичних) прийомів виконання рекламного звернення сприяє створенню чіткого образу, іміджу торгової марки, що має назву «персональна (індивідуальна) торгова марка» і є найбільшим надбанням самої марки, а отже, і виробника або торгового посередника.
Реклама може створити в покупця, схильного до наслідування, враження, що торгова марка є предметом уподобання інших покупців (споживачів) або експертів. Вважають, що дуже часто такі товари й торгові марки стають модними, або навпаки – залежно від того, як вони подаються споживачеві (покупцеві) – як вельми престижні чи повсякденні.
До сильних сторін реклами фахівці відносять таке:
‒вона досягає масової аудиторії;
‒стимулює широкомасштабний попит;
‒надає впізнаваності торговій марці;
‒позиціонує торгову марку або товар;
‒розширює знання про конкретну торгову марку;
‒забезпечує повторність посилання виробника до споживача;
‒забезпечує нагадування про товар та виробника (торгового посередника).
Але реклама має і значні негативні сторони, такі як нав’язливість, забруднення інформаційного середовища, марнування більшої частини свого впливу через масову спрямованість тощо.
Високоякісна інформативна реклама має відповідати таким вимогам:
‒підпорядковуватися загальній стратегії й тактиці маркетингу фірми-виробника;
‒відповідати іміджу, який виробник бажає створити власному товару на ринку;
‒бути доступною для цільової аудиторії, для якої її призначено;
‒бути правдивою, нічого не перебільшувати, бути (по можливості) доступною для перевірки;
‒не бути занадто несподіваною для певної цільової аудиторії, оскільки стереотипи мислення переборювати дуже важко, і треба поступово підводити покупців до бажаної реакції;
‒чітко відбивати спрямовані до розуму, емоцій та здорового глузду споживачів наміри виробника;
‒бути конкретною, давати можливість споживачам спочатку подумки, а потім і фактично встановити зв’язки між своїми потребами та пропонованими товарами, послугами чи ідеями;
‒своєчасно розпочинатися та своєчасно закінчуватися, поки вона ще не надокучила цільовій аудиторії.
Завдання оцінки ефективності рекламних комунікацій характеризуються багатофакторністю умов і нелінійним зв'язком показників рекламної активності / витрат на рекламу з результатами (продажами, охопленням аудиторії, кількістю залучених клієнтів). В даний час дослідження, спрямовані на оптимальне планування розміщення реклами та підвищення ефективності рекламних вкладень, актуальні в світлі динамічного розвитку рекламної справи.
Для мінімізації ризиків та усунення неефективних витрат грошей на розміщення реклами необхідно оптимально розподіляти рекламний бюджет і прогнозувати можливий ефект від розміщення реклами. Необхідний також постійний моніторинг позиції компанії на ринку, щоб вчасно передбачити негативні наслідки і прийняти рішення по поліпшенню ситуації. Рішення подібних завдань маркетингу здійснимо із застосуванням формалізованих підходів і математичних методів. З ростом конкуренції масштаби реклами збільшуються, отже, зростає кількість пов'язаних з нею питань і проблем, однією з яких є вибір каналів комунікацій, які забезпечують найбільшу віддачу від інвестицій. Визначення ефективності рекламних кампаній як важливого контролюючого елемента рекламної діяльності стає актуальною проблемою. У зарубіжній і вітчизняній літературі з даної тематики відчувається брак ідей і нових рішень в галузі оцінки ефективності рекламних кампаній (РК).
Тема моделювання показників ефективності рекламних кампаній в даний час недостатньо розроблена і слабо відображена в науковій літературі.
Дана обставина є прямим наслідком недостатності досліджень з більш широкої наукової проблеми недосконалості економічної інформації в мікроекономічних системах.
Оцінка ефективності РК з точки зору сприйняття і реакції споживачів розглядалася в роботах багатьох авторів: Адамова С. С., Пишняк А. І., Романова А. А., Панько А. В. та інших [16-18]. Застосування методів оптимізації вкладень у рекламу та визначення рекламного бюджету були розглянуті в роботах Радченко Д. М., Бородіної І. П., Астаф'євої Є. В [10-15]. Раніше ця тема розглядалася або з точки зору креативних (засіб візуального представлення рекламного повідомлення) і психологічних концепцій, або моделювання окремих показників ефективності реклами товарів у вузькому сегменті. Кленсі К. Дж., Крейг П. С., Вольф М. М. – засновники консалтингової маркетингової компанії Copernicus – написали книгу «Моделювання ринку: як спрогнозувати успіх нового продукту», де розповіли про моделювання продажів і знання марки нового продукту, при цьому вони оцінювали ефективність реклами та майбутні продажу продукту за допомогою створення тестового магазину (дорогий метод оцінки майбутніх продажів) [2]. Серед авторів, які вивчають питання оптимізації та моделювання в рекламі, слід зазначити Радченко Д. М., яка комплексно підійшла до вирішення цієї проблеми і розробила систему оцінки реклами, в ній превалює метод експертних оцінок, що спираються на досвід і наявність великого обсягу статистичної інформації з рекламних кампаніям тільки однієї фірми [3].
 
1.2. Види емпіричних моделей для оцінки рекламного бюджету
 
Типове ставлення підприємців до рекламного бюджету полягає в тому, що вони будуть збільшувати витрати до тих пір, поки будуть впевнені, що це принесе прибуток. Якщо потрібно вкласти в рекламу одну гривну, щоб збільшити прибутки на одну копійку, то це варто робити. Однак на етапі розробки рекламного бюджету важко робити прогнози. Протягом багатьох років розроблялися методи, які допомагають компанії визначити рівень витрат на рекламу. Найбільш широко використовуються методи «відсотка продажів», «відсотки прибутку», рівня продажів в одиницях товару, конкурентного паритету, пайової участі в ринку і метод узгодження з завданням. Деякі організації покладаються на якийсь один метод, інші використовують комбінацію методів. Останнім часом змінилася тенденція до використання більш складних методів, ніж визначення бюджету за відсотком продажів. Проте, жоден метод не є вичерпним для всіх ситуацій.
Відзначимо кілька особливостей існуючих на даний момент методів розрахунку рекламного бюджету.
Практично всі методи розраховані на великих рекламодавців. Практично жоден з методів не дає відповіді на питання – за якими ЗМІ та в якій кількості всередині цих ЗМІ розподіляти рекламний бюджет. Тобто апріорі вважається, що головне – це «скільки» витратити, а не яким чином це «скільки» розподілити.
За принципом розрахунку рекламного бюджету всі методи можна звести до декількох основних. У них обсяг рекламного бюджету розраховується:
‒в залежності від величини обороту фірми;
‒в залежності від обсягів рекламних бюджетів фірм-конкурентів;
‒виходячи з коштів, що залишилися після розподілу на всі інші потреби;
‒виходячи з критерію оптимальності витрат на рекламу.
Розглянемо ці методи докладніше.
1. Розрахунок рекламного бюджету в залежності від обороту
В цих методах не без підстав вважається, що збільшення обороту фірми пропорційно рекламним вливанням.
а) Метод визначення обсягу рекламного бюджету у відсотках до обсягу збуту [2].
У цьому методі (1. 1) рекламний бюджет оцінюється щодо реально існуючого на даний момент обороту:
  (1. 1)
де   – рекламний бюджет (витрати на рекламу) ;
  – показник відрахувань на рекламу щодо обсягу продажів, який склався на ринку (або в самій фірмі) ;
  – оборот фірми на момент оцінки рекламного бюджету.
Припустимо, обсяг продажів фірми становить 500 тис. грн. Сформований на ринку показник процентного відрахування на рекламу від обороту дорівнює 3%. Тоді рекламний бюджет складе 15 тис. грн. (0, 03 х 500).
Мабуть, єдиною перевагою даного методу є його простота. В іншому ж цей метод досить ненадійний.
б) Метод визначення обсягу рекламного бюджету з урахуванням цілей і задач.
Цей метод (1. 2) представлений в [2] та [3]. Формалізувати в лінійному вигляді його можна таким чином:
  (1. 2)
де   – вартість однієї, так званої, рейтингової одиниці;
  – кількість рейтингових одиниць, необхідних для умовно 100% охоплення цільової аудиторії;
  – бажаний рівень обсягу продажів;
  – максимальний рівень обсягу продажів (умовно 100% охоплення цільової аудиторії).
Припустимо, Smax = 100 тис. грн., n0 = 2000, р = 10 грн. Тоді якщо фірма ставить за мету досягти рівня обсягу продажів 75 тис. грн., їй необхідно охопити рекламою 75% цільової аудиторії (75/100), що потребує оплати 1500 рейтингових одиниць (2000 х 0, 75), що в свою чергу потребує 15 тис. грн. (10 х 1500) рекламного бюджету.
в) Модель Юла [4].
Наведемо в загальному вигляді формулу (1. 3) для цієї моделі:
  (1. 3)
де   і  мають, по суті, ті ж значення, що і для методу б) ;
  – кількість потенційних клієнтів фірми-рекламодавця;
N – кількість клієнтів, які стануть постійними клієнтами даної фірми;
  – відношення кількості клієнтів даної фірми, які стали постійними, до кількості клієнтів, які спробують товар даної фірми;
  – відношення кількості клієнтів, які спробують товар даної фірми, до кількості тих, що побачили рекламу даної фірми.
Неважко бачити, що  - це кількість клієнтів, що спробували товар даної фірми, а   – це кількість потенційних клієнтів, які побачили рекламу даної фірми.
Нехай фірма хоче вийти на ринок з новим видом цигарок. Ринок складається з 50 млн. курців (Nmax = 50 млн.). Фірма хоче, щоб на цигарки цієї марки переключилось 4 млн. курців (N=4 млн.). За розрахунками маркетологів фірми це буде складати 40% від числа тих, що спробували цигарки даної марки ( = 0, 4, відповідно  = 10 млн.). Це в свою чергу буде становити 25% від числа тих, що побачили рекламу даної фірми ( = 0, 25, відповідно   = 40 млн.). Таким чином, рекламою має бути охоплено 80% потенційних клієнтів (  = 0. 8). Умовно при охопленні 100% потенційних клієнтів необхідно 4000 одиниць реклами ( = 4000). Тоді для охоплення 80% необхідно 3200 одиниць реклами ( = 3200). Одна одиниця реклами буде коштувати 3 тис. грн. (  = 3 тис. грн.). Тоді загальний бюджет рекламної кампанії повинен скласти 9600 тис. грн.
Ця модель практично ідентична методу б) за тим лише виключенням, що замість величини обороту тут використовується величина кількості клієнтів, що в ряді випадків (як у випадку з цигарками) є досить виправданим.
г) Модель Відаля-Вольфа [2], [4].
Наведемо формулу (1. 4), яка використовується в цій моделі як базова:
  (1. 4)
де  - зміна рівня обсягу продажів у порівнянні з поточним;
  – константа реакції обороту на рекламу;
 - рівень насичення ринку даним товаром (роботою, послугою) ;
  – поточний обсяг продажів;
 - константа зменшення обсягу продажів при відсутності витрат на рекламу.
У цій формулі вже з'явився вільний член ( ), який дозволяє врахувати скорочення обороту за відсутності витрат на рекламу. Величина   аналогічна однойменної величиною у методі б). Обчисливши звідси величину , одержимо формулу (1. 5) для розрахунку величини рекламних витрат:
  (1. 5)
Наприклад, фірма має оборот 50 тис. грн. (S0 = 50), через рік оборот повинен збільшитися ще на 50 тис. грн. ( = 50), рівень насичення ринку даним товаром становить 500 тис. грн. (Smax = 500), k1 = 8, k2 = 0, 1. Тоді величина рекламного бюджету EA складе 7639 грн.
ґ) Модель ADBUDG [5].
У цьому методі в якості базової використовується наступна формула (1. 6) :
  (1. 6)
де   – частка ринку, яку бажає зайняти фірма;
  – частка ринку, яку займе фірма при нульовій рекламі (EA=0) ;
  – частка ринку, яку займе фірма при найвищому рівні реклами (EA прагне до нескінченності) ;
  – коефіцієнт чутливості функції реакції;
  – коефіцієнт ослаблення.
Звідси легко знайти величину рекламного бюджету (1. 7) :
  (1. 7)
Неважко помітити, що величина частки ринку, займаною фірмою, є не що інше, як відношення обороту фірми до величини рівня насичення ринку даним товаром (аналогічна величині Smax з моделі Відаля-Вольфа) :  . Тоді формула (1. 6) перетворюється у наступну формулу (1. 8) :
  (1. 8)
де S – бажаний оборот фірми;
Smin – оборот фірми при нульовій рекламі;
Smax – оборот фірми при найвищому рівні реклами.
Зазначимо загальні недоліки, характерні для методів розрахунку рекламного бюджету в залежності від обороту. Залежність величини обороту від величини рекламного бюджету має або лінійний характер (як в перших чотирьох методах), або нелінійний характер (метод ADBUDG). У цих залежностях присутні від 1-го до 4-х коефіцієнтів (як лінійно залежних, так і лінійно незалежних між собою). Чисто з математичної точки зору для знаходження цих коефіцієнтів необхідно, по-перше, знати кількість точок залежності  , дорівнює кількості лінійно незалежних коефіцієнтів, а по-друге, вирішити систему рівнянь щодо цих коефіцієнтів. Однак якщо можна визначити хоча б одну точку залежності  , тоді незрозуміло, чому не можна визначити необхідну точку. Так, наприклад, для методу б) можна було б безпосередньо оцінити, що для досягнення рівня обсягу продажів в 75 тис. грн. необхідно витратити на рекламу 15 тис. грн. Для моделі Юла точно так само можна було б безпосередньо оцінити, що для залучення 4 млн. курців буде потрібно 9600 тис. грн. рекламного бюджету. Для інших методів ситуація аналогічна.
Однак, можливо навіть, що величина рекламного бюджету виходячи з величини обороту (поточного або бажаного) була визначена вірно, але навряд чи є підстави вважати, що величина бажаного обороту є оптимальною величиною. Вона може бути як завищена (тоді частина рекламних витрат здійснюються даремно), так і занижена (тоді при більшій величині рекламного бюджету фірма мала б рентабельність більше, ніж виходить при даній величині рекламного бюджету).
2. Розрахунок рекламного бюджету в залежності від обсягів рекламних бюджетів фірм-конкурентів
У загальному випадку залежність у методів даної групи може бути відображена наступною формулою (1. 9) :
  (1. 9)
де EAi – рекламний бюджет і-й фірми-конкурента;
N – кількість фірм-конкурентів;
  – коефіцієнт пропорційності між сумою рекламних бюджетів фірм-конкурентів і рекламним бюджетом даної фірми.
а) Метод оцінки рекламного бюджету з урахуванням практики конкуруючих фірм [4].
У цьому методі обсяг рекламного бюджету розраховується як середнє між обсягами рекламних бюджетів фірм-конкурентів (1. 10) :
  (1. 10)
Треба зауважити, що цей метод навряд чи несе хоч якесь смислове навантаження. Припустимо, що на ринку присутні дві основні фірми-конкурента. Перша витрачає на рекламу 20 тис. грн., а друга -. 100 тис. грн. Неважко підрахувати, що цей метод дає величину рекламного бюджету 60 тис. грн., хоча зрозуміло, що все залежить від величини даної фірми. Якщо ця фірма за величиною порівнянна з першою фірмою, вона навряд чи зможе дозволити розрахункову величину рекламного бюджету без збитку для оборотних коштів. Якщо ж фірма порівнянна з другою фірмою, то для успішної конкуренції вона може і повинна витрачати на рекламу більше розрахункової величини.
б) Метод пайової участі на ринку [4].
Цей метод в чистому вигляді використовує формулу (1. 9). Тут   – це частка ринку, яку розраховує зайняти дана фірма. Крім того, в даному методі необов'язково оцінювати величини рекламних бюджетів кожної фірми-конкурента, а достатньо оцінити сумарний обсяг рекламних вливань з даного товару, роботи чи послуги.
В даному випадку сумарний обсяг рекламних вливань з даного товару є величиною зовнішньої для даної фірми (тобто визначеною). Оцінити цю величину можна більш-менш точно. Однак набагато важливіше правильно оцінити величину частки ринку ( ), яку розраховує зайняти дана фірма. Саме від оцінки цієї величини і залежить, наскільки величина рекламного бюджету буде оптимальною. А оскільки даний метод не дає способу оцінки цієї величини, цінність цього методу вельми сумнівна.
3. Розрахунок рекламного бюджету по залишковим засобів [4]
Величина рекламного бюджету розраховується, виходячи з коштів, що залишилися після використання на всі інші потреби. Цей метод, як бачимо, один з найневдаліших, так як зводить рекламну політику до рівня «пасербиці», причому абсолютно несправедливо. Вкладення в рекламу нічим не відрізняються від будь-яких інших вкладень. Величина їх рентабельності може бути як вище, так і нижче цих інших (альтернативних) вкладень. Тому і розглядатися витрати на рекламу повинні нарівні з іншими витратами.
4. Розрахунок рекламного бюджету виходячи з критерію оптимальності витрат на рекламу
Ця група описується за допомогою моделі Данахера-Руста [6].
В основу даного методу покладено алгоритм пошуку оптимальної величини рекламного бюджету за критерієм максимуму відношення ефективності реклами до витрат на неї.
У цьому методі передбачається, що ефективність реклами, яка виражається у відносній величині охоплення цільової аудиторії, залежить від витрат на рекламу таким чином:
  (1. 11)
де   – значення охоплення цільової аудиторії (при 100% охопленні   = 1) ;
  – величина витрат на рекламу (величина рекламного бюджету) ;
  – коефіцієнт, за змістом рівний величині витрат на рекламу, за якої ефективність реклами дорівнює нулю ( =0). Зрозуміло, що витрати на рекламу рівні   і менші цього значення не мають економічного сенсу.
Неважко помітити, що 100% охоплення цільової аудиторії ( =1) досягається при нескінченної величиною витрат на рекламу (  прагне до нескінченності).
Звичайно, важко судити, наскільки ця залежність близька до реальної, тим не менш, вона, хоч і примітивно, але за змістом вірно визначає економічну суть співвідношень між величинами охоплення цільової аудиторії і витрат на рекламу.
Далі оптимізується відношення величин охоплення цільової аудиторії і витрат на рекламу (1. 12) :
  (1. 12)
Прирівнявши похідну цієї функції по   нулю і знайшовши величину  , одержимо оптимальну величину витрат на рекламу. Підставивши це значення у вираз (1. 12), отримаємо максимальне значення відношення величин охоплення цільової аудиторії і витрат на рекламу і оптимальне значення охоплення цільової аудиторії   = 0, 5 (50%).
Оскільки у формулі (1. 11) присутній тільки один коефіцієнт ( ), для його визначення необхідно знайти тільки одну точку залежності  . Наприклад, маркетологи фірми визначили, що при витратах на рекламу 25 тис. грн. (  = 25) охоплення цільової аудиторії складе 88% ( =0, 88). З формули (1. 11) неважко знайти величину коефіцієнта  :  =3. Відповідно оптимальна величина витрат на рекламу складе в даному випадку 6 тис. грн.
В оригіналі цього методу використовується більш складний варіант формули (1. 11) :
  (1. 13)
де   – коефіцієнт, що дозволяє, по-перше, врахувати знижки на рекламу при збільшенні обсягу, а, по-друге, більш точно врахувати падіння ефективності реклами при збільшенні обсягу.
З математичної ж точки зору, введення додаткового коефіцієнта просто дозволяє більш точно оцінити залежність   не по одній точці ( ,  ), як в попередньому випадку, а по двох точках ( ,  ) і ( ,  ).
По суті, все залишається, лише трохи змінюються оптимальні значення (їх неважко обчислити в даному випадку) :
  (1. 14)
  (1. 15)
  (1. 16)
Оскільки в даному випадку у вихідній формулі використовується 2 коефіцієнта, то для їх визначення необхідно знайти вже не 1, а 2 точки залежності  , а потім вирішити нелінійну систему 2-х рівнянь (1. 17) :
  (1. 17)
звідки можна знайти коефіцієнти  і   (1. 18) :
  (1. 18)
Наприклад, маркетологи фірми визначили, що при витратах на рекламу 5 тис. грн. ( =5) охоплення цільової аудиторії складе 16% ( = 0, 16), а при витратах 25 тис. грн. ( = 25) – 88% ( = 0, 88). Підставивши ці значення, отримаємо значення коефіцієнтів  =4. 32,  =1, 21. З формули (1. 14) знаходиться оптимальне значення величини рекламного бюджету  =8, 34 тис. грн. Оптимальне охоплення цільової аудиторії складе при цьому  = 0, 55 (55%).
В оригіналі цього методу для характеристики витрат на рекламу використовується якась проміжна величина загальних рейтингових одиниць GRPs (Gross Rating Points). Чисто математично це не виправдано, оскільки між витратами на рекламу і кількістю GRPs в методі встановлюється досить однозначна відповідність. Тепер необхідно зазначити, що функція  , апроксимуюча залежність величини охоплення цільової аудиторії від величини рекламного бюджету, може мати й інший вигляд. Наприклад, цю залежність можна апроксимувати функцією  . Тут так само, як і у формулі (1. 13),   прагне до 1 при  , що прагне до нескінченності. Значення коефіцієнтів   і   аналогічно перебувають рішенням системи рівнянь. Значення ж   в даному випадку не можна знайти аналітично, що не заважає знайти це значення методом підстановки. Для тих же значень  ,   і  ,   значення  =10, 39 тис. грн. для даного виду апроксимуючої функції. Оптимальне охоплення цільової аудиторії складе при цьому  = 0, 46 (46%). Головна методологічна помилка даного методу полягає, мабуть, в тому, що як критерій прийняття рішення виступає максимум відносини величин охоплення цільової аудиторії і витрат на рекламу. Фактично це відношення еквівалентно рентабельності вкладень в рекламу (1. 19) :
  (1. 19)
де Р – прибуток, обумовлений вкладеннями в рекламу  , з урахуванням цих витрат.
Дійсно, якщо вважати прибуток Р пропорційним ефективності реклами   (що не позбавлене економічного сенсу), оптимізація відносини охоплення цільової аудиторії і витрат на рекламу рівносильна оптимізації рентабельності вкладень у рекламу. Проте критерієм прийняття рішення про величину рекламних вкладень (як, втім, і будь-яких інших) не може служити оптимальна рентабельність даних вкладень.
Нехай, наприклад, рекламний модуль в будь-якому виданні коштує 1000 грн., а прибуток, принесений цим рекламним модулем, складе 500 грн. Припустимо тепер, що модуль в 2 рази більший за площею коштує 2000 грн., а прибутку він принесе 800 грн. Тоді рентабельність 1-го модуля складе 500/1000 = 0, 5 (50%), а рентабельність 2-го модуля складе 800/2000 = 0, 4 (40%). Якщо слідувати критерієм оптимальності, прийнятому в методі Данахера-Руста, потрібно вибрати модуль, менший за площею. Однак насправді все залежить від рентабельності альтернативних вкладень. Адже маленький модуль коштує тисячу гривень. А як можна використовувати другу тисячу гривень? Якщо рентабельність альтернативних вкладень другої тисячі гривень складе величину меншу 0. 3 (<30%), тоді загальний прибуток при вкладенні двох тисяч гривень буде менше, ніж при взятті більшого за площею модуля. Наприклад, рекламний модуль в іншому виданні коштуватиме також 1 000 грн., однак він принесе 200 грн. прибутку. Тоді загальний прибуток складе 500+200 = 700 грн., що менше 800 грн., які отримає фірма, якщо візьме більший за величиною модуль у першому виданні.
З наведених вище міркувань можна зробити наступний висновок. Якщо рекламні вкладення самі рентабельні, то рекламний бюджет повинен бути не нижче оптимальної величини за методом Данахера-Руста. Далі все залежить від величини альтернативних вкладень. Чим менше вони рентабельні, порівняно з рентабельністю рекламних вкладень, тим більше повинна бути величина рекламного бюджету щодо оптимальної величини за методом Данахера-Руста.
Крім того, вважалося, що прибуток Р пропорційний охопленням цільової аудиторії . Однак це вірно лише до певного значення охоплення, вище якого у фірми може просто не вистачати коштів (як оборотних, так і основних) для обслуговування такої кількості клієнтів. Наведемо простий приклад. Фірма здійснює продаж в основному по телефону. Припустимо, у фірми один телефонний номер, і в результаті рекламної кампанії зайнятість телефонної лінії зросла до 90%. Увесь прибуток, який принесли би клієнти, які не додзвонилися внаслідок зайнятості телефону, є упущеним прибутком фірми (змінні витрати). І в даному випадку вкладення в додаткові телефонні лінії напевно виявляться більш рентабельними, ніж подальші вкладення в рекламну кампанію. Це як раз і є ті альтернативні вкладення, рентабельність яких необхідно порівнювати з рентабельністю вкладень у рекламу. Інакше кажучи, у фірми повинно вистачати виробничих потужностей для можливого збільшення обороту. В іншому випадку частина рекламних грошей може виявитися викинутими на вітер.
 
1.3. Основні ідеї для побудови економіко-математичної моделі організації рекламної діяльності
 
В наш час просування на ринок товарів у відсутності реклами майже неможливо. З іншої сторони, математична теорія реклами в даний час тільки починає розвиватися, і робіт, присвячених економіко-математичним моделям впливу реклами на продаж і планування рекламних кампаній, ще небагато [4-6]. В цих роботах ще не досліджені багато рис впливу реклами на людину, зокрема, той ефект, який можна назвати «докучанням» реклами, коли тривала одноманітна реклама набридає людині, вона перестає звертати на неї увагу, і реклама не впливає згодом на покупку людини. В цьому випадку необхідно замість обридливого рекламного ролика підготувати и пустити інший. Таким чином, будь-яка реклама розвивається циклами, коли один рекламний ролик існує деякий час, а потім він змінюється іншим.
Розглянемо модель рекламної кампанії з фіксованою ціною товару. Нехай   – кількість товару, що виробляється в одиницю часу,   – витрати на виробництво одиниці товару,   – роздрібна ціна продажу одиниці товару,   – накладні витрати фірми, тобто невиробничі витрати. Розглянемо випадок, коли кількість товару, що випускається і ціна продажу фіксовані.
Прибуток фірми в одиницю часу дорівнює  . Так як   є постійною величиною, то воно надалі виписуватися не буде.
Будемо вважати, що виробництво рентабельно і на ринку встановилася рівновага, так що весь товар, вироблений фірмою, продався, але більшої кількості товару ринок не споживає.
Нехай на рекламу в одиницю часу виділяється   коштів. Величину, яка характеризує ефективність реклами, далі будемо позначати як  . У якості моделі, яка визначає залежність впливу реклами від часу, візьмемо наступну модель (1. 20) :
  (1. 20)
де   є кількість коштів, які призначаються на рекламу в одиницю часу. Так як невідомо, у яких одиницях виміряти  , то її розмірність візьмемо таку ж, як і у  ; тоді коефіцієнт перед   узятий з тією ж розмірністю, як і перед  .
На величину  , яка описує вплив реклами, впливають два фактори. По-перше, вона залежить від кількості коштів, що вкладаються у рекламну компанію, й чим більш їх вкладається, тим більш вплив реклами. По-друге, має місце ефект «забування» реклами, коли з припиненням рекламної компанії її вплив згодом зменшується.
То, що коефіцієнт   залежить від часу   як раз і відображає ефект «докучання» реклами, так як збільшення   приводить к збільшенню швидкості забування реклами. Для певності будемо рахувати, що  .
Позначимо через   прибуток фірми у одиницю часу. Тоді розглядувана ситуація описується наступною системою диференціальних рівнянь (1. 21) :
  (1. 21)
де   та  .
Розглянемо далі стаціонарний режим реклами. Із першого рівняння системи (1. 21) маємо
  (1. 22)
Підставивши сюди друге рівняння з системи (1. 21), отримаємо
  (1. 23)
Останній доданок у (1. 23) не залежить від виду  , тому при розв’язанні задачі оптимізації його можна не враховувати.
Розглянемо тепер розв’язання задачі  . Рівняння Ейлера для функціоналу (1. 23) має вигляд (1. 24) :
  (1. 24)
Позначимо корінь цього рівняння через  , він знаходиться з рівняння (1. 25) :
  (1. 25)
й визначає оптимальний рівень впливу реклами у «стаціонарному» режимі.
Однак на цей режим ще треба вийти. Тому розглянемо випадок, коли цикл життя рекламного ролика має наступний вигляд.
Нехай рекламний ролик починає прокручуватися у момент часу  . Вплив реклами в цьому випадку починається з того значення, що залишилося після попереднього ролика, тобто з  . У першій фазі «життя» цього ролика, яка складає інтервал часу  , на проведення рекламної компанії виділяється максимальна кількість коштів  . Так продовжується до того моменту, поки не буде досягнутий стаціонарний режим.
Стаціонарний режим ведеться на інтервалі  , при цьому підтримується рівень впливу реклами, який дорівнює  . Через ефект «докучання» рівень впливу реклами згодом знижується, та коли він досягає значення  , треба запускати новий ролик. Таким чином, новий цикл визначається умовою  .
Розглянемо кожен період окремо.
1. Період розкрути реклами
Ця фаза відбувається на інтервалі часу  . Для неї виконуються умови   та  . Тоді розв’язання рівняння (1. 20) має вигляд:
  (1. 26)
Момент часу виходу з цієї частини визначається співвідношенням  , тобто рівнянням (1. 27) :
  (1. 27)
Прибуток фірми на цій частині дорівнює
  (1. 28)
2. Стаціонарний режим
Ця фаза циклу знаходиться на часовому інтервалі  . Для неї  , витрати фірми дорівнюють
 , (1. 29)
а прибуток дорівнює
  (1. 30)
Будемо вважати, що на розробку нового рекламного ролика витрачається сума  . Тоді загальний прибуток фірми впродовж всього циклу дорівнює
  (1. 31)
У якості критерію оптимальності приймемо прибуток фірми   у одиницю часу. Тоді, не враховуючи постійного доданка  , отримаємо
  (1. 32)
Зауважимо, що   входить у перший доданок через  , яке входить у  .
Вимагаючи виконання умови  , що приводить до рівняння  , отримаємо рівняння для визначення загальної довжини циклу   (1. 33) :
  (1. 33)
Зрозуміло, що розв’язати це рівняння можна лише чисельно. Якщо знайти  , то можна знайти й усі інші характеристики циклу.
Розглянемо модель рекламної кампанії зі змінною ціною товару.
Нехай залежність попит – ціна має вид  , або, у явному виді,  . Тоді прибуток фірми у одиницю часу складе  .
Знайшовши максимум цього виразу за об’ємом виробництва  , легко отримати, що цей максимум досягається при   та прибуток фірми у одиницю часу за таким об’ємом виробництва дорівнює
  (1. 34)
При цьому вражається, що ця величина позитивна, тобто виробництво рентабельне. Так як   є постійною величиною, то воно подалі враховуватися не буде.
Розглянемо ситуацію, коли фірма для збільшення прибутків витрачає частину коштів на рекламну компанію. Реклама чинить психологічний вплив на покупця, який приводить до зміни залежності попит – ціна. Розглянемо спочатку випадок, коли вплив реклами приводить к зміщенню залежності попит – ціна паралельно собі. Цей факт треба враховувати тим, що будемо вважати величину   залежною від  , тобто брати залежність попит – ціна у вигляді (1. 35)
  або   (1. 35)
Подальше будемо вважати, що   монотонно спадає з ростом  , але   монотонно спадає с ростом   та існує кінцева межа  .
У якості рівняння для величини   знову візьмемо рівняння (1. 20). Тоді об’єм товару  , що виробляється фірмою в момент часу  :
  (1. 36)
де   визначається рівнянням (1. 20).
Тоді отримаємо наступну систему рівнянь (1. 37), яка описує цю ситуацію:
  (1. 37)
з початковими вимогами  .
З першого рівняння системи (1. 37) маємо
  (1. 38)
Підставляючи сюди друге рівняння системи (1. 37), отримаємо
   (1. 39)
Останній доданок у (1. 39) не залежить від виду   й тому при розв’язанні задачі оптимізації його можна не враховувати.
Розглянемо розв’язання задачі  . Рівняння Ейлера для функціонала (1. 39) має вигляд
  (1. 40)
Позначимо корінь цього рівняння через  ; він й визначає оптимальний рівень впливу реклами в «стаціонарному» режимі.
Фаза періоду розкрути реклами проходить на інтервалі часу  . Для неї виконані умови   та  = . Тоді розв’язання рівняння (1. 20) знову має вигляд (1. 26) та момент часу виходу з цієї частини визначається співвідношенням  .
Прибуток фірми на цій частині дорівнює
   (1. 41)
Фаза стаціонарного режиму проходить на часовому інтервалі  . Для неї  , витрати фірми дорівнюють
 , (1. 42)
а прибуток
   (1. 43)
Будемо вважати, що на розробку нового рекламного ролика витрачається сума  . Тоді сумарний прибуток фірми впродовж всього циклу дорівнює
  (1. 44)
У якості критерію оптимальності візьмемо критерій виду
  (1. 45)
Це приведе до рівняння (1. 46) для визначення  :
  (1. 46)
розв'язати яке можна лише чисельно.
Отже, в процесі рекламної діяльності підприємство може застосовувати рекламу для досягнення багатьох цілей як економічного, так і неекономічного характеру. Для мінімізації ризиків та усунення неефективних витрат грошей на розміщення реклами необхідно оптимально розподіляти рекламний бюджет і прогнозувати можливий ефект від розміщення реклами. Будь-яка реклама розвивається циклами, коли один рекламний ролик існує деякий час, а потім він змінюється іншим. Для створення оптимальної економіко-математичної моделі з урахуванням усіх процесів та зауважень, а також щоб створена модель була ефективною, перейдемо до розділу 2, де будуть розглянуті основні математичні методи розробки потрібної моделі.
 
РОЗДІЛ 2. ДОСЛІДЖЕННЯ ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ОРГАНІЗАЦІЇ РЕКЛАМНОЇ КОМПАНІЇ
 
2.1. Постановка задачі. Загальний вид рішення досліджуваної системи
 
Фірма починає рекламувати новий товар або послугу. Зрозуміло, що прибуток від майбутніх продажів повинен з лишком покривати витрати на у кампанію. Ясно, що спочатку витрати можуть перевищувати прибуток, оскільки лише мала частина потенційних покупців буде поінформована про новинку. Потім, при збільшенні числа продажів, вже можливо розраховувати на помітний прибуток, і, нарешті, наступить момент, коли ринок насититься, і рекламувати товар далі не стане сенсу.
Модель рекламної кампанії ґрунтується на таких основних пропозиціях. Вважається, що величина dN/dt – швидкість зміни з часом числа споживачів, які дізналися про товар і готових купити його (t – час, що минув з початку рекламної кампанії, N (t) – число вже інформованих клієнтів) – пропорційна числу покупців, які ще не знають про нього, тобто величині a1 (t) (N0 – N (t)), де N0 – загальна кількість платоспроможних потенційних покупців, a1 (t) > 0 характеризує інтенсивність рекламної кампанії (фактично визначається витратами на рекламу в даний момент часу). Передбачається також, що споживачі, які дізналися про товар тим чи іншим чином, поширюють отриману інформацію серед необізнаних, виступаючи як би додаткові рекламними «агентами» фірми. Їх внесок дорівнює величині a1 (t) (N0 – N (t)) і тим більше, чим більше число агентів. Величина a2 (t) >0 характеризує ступінь спілкування покупців між собою (вона може бути встановлена, наприклад, за допомогою опитувань).
В результаті отримуємо рівняння (2. 1) :
  (2. 1)
При a1 (t) >> a2N (t) з (2. 1) виходить модель типу моделі Мальтуса, при протилежній нерівності – рівняння логічної кривої
dN/dt=N (N0 – N), dt=a2 (t) dt. (2. 2)
рішенням цього рівняння є вираз (2. 3)
N (t) = Np N (0) eat / (Np N (0) (1- eat)). (2. 3)
Отримана аналогія цілком зрозуміла, тому що при побудові даної моделі та моделі зростання чисельності популяції[5] використовувалася одна і та ж ідея «насичення»: швидкість росту з часом будь-якої величини пропорційна добутку поточного значення цієї величини N (t) на різницю N0-N (t) між її рівноважним (популяція) або граничним (покупці) і поточними значеннями.
Аналогія між обома процесами закінчується, якщо в якийсь момент часу величина a1 + a2N стає нульовою або навіть негативною (для цього необхідно, щоб один або обидва коефіцієнта a1 (t), a2 (t) стали негативними). Подібний негативний ефект досить часто зустрічається в рекламних кампаніях різного роду і повинен спонукати їх організаторів або змінити характер реклами, або зовсім відмовитися від подальшої пропаганди. Заходи по збільшенню популяції товару можуть, залежно від значення величин a1 (t), a2 (t), N (t), спрямовуватися на поліпшення результатів як прямої (параметр a1), так і непрямої (параметр a2) реклами.
Модель (2. 1) позбавлена явного недоліку, властивого логічному рівнянню. Дійсно, воно не має рішень, що звертаються в нуль в кінцевий момент часу. Стосовно до реклами це означало б, що частина покупців ще до початку кампанії вже знають про новий товар. Якщо ж розглянути модель (2. 1) в околиці точки N (t=0) =N (0) =0 (t=0 – момент початку кампанії), вважаючи, що N << N0, a2 (t) N<<a1 (t), то рівняння (2. 1) набуває вигляду (2. 4)
dN/dt = a1 (t) N0 (2. 4)
і має рішення
 , (2. 5)
яке задовольняє початковій умові t=0.
З (2. 5) відносно легко вивести співвідношення між рекламними витратами та прибутком на самому початку кампанії. Позначимо через p величину прибутку від одиничного продажу, якою б вона була без витрат на рекламу. Вважаємо для простоти, що кожен покупець отримує лише одну одиницю товару. Коефіцієнт a1 (t) за своїм змістом – число рівнозначних рекламних дій в одиницю часу (наприклад, розклеювання однакових афіш). Через s позначимо вартість елементарного акту реклами. Тоді сумарний прибуток є
P = pN (t) = pN0  (2. 6)
а витрати складуть
S = s   (2. 7)
Прибуток перевершує витрати за умови pN0>s, і якщо реклама дієва і недорога, а ринок недостатньо ємний, то виграш досягається з перших же моментів кампанії (в реальності між оплатою реклами, рекламною дією і наступною покупкою має місце так званий лаг – тимчасова затримка, яка може бути врахована в більш повних моделях). За не надто ефективною або дорогою рекламою фірма на перших кроках несе збитки. Однак ця обставина, взагалі кажучи, не може служити підставою для припинення реклами. Дійсно, вираз (2. 6) і отримана з його допомогою умова pN0>s справедливі лише при малих значеннях N (t), коли функції P і S зростають з часом за однаковими законами. При збільшенні N (t) відкинуті в (2. 1) члени стають помітними, зокрема посилюється дія непрямої реклами. Тому функція N (t) може стати більш «швидкою» функцією часу, ніж у формулі (2. 6). Цей нелінійний ефект у зміні величини N (t) при незмінному темпі зростання витрат дає можливість компенсувати фінансову невдачу початкової стадії кампанії.
Пояснимо це твердження в окремому випадку рівняння (2. 1) з постійним коефіцієнтом a1, a2. Заміною
N’ = a1 /a2 + N (2. 8)
воно зводиться до логічного рівняння
dN’/dt = a2 N’ (N’0 – N’), N’0 = a1 /a2 + N0 (2. 9)
яке має рішення
N’ (t) = [1+ (N’0 a2 /a1 – 1) e -N’0 a2 t ]-1 (2. 10)
При цьому N’ (0) = a1 /a2, так як N (0) = 0, і його початкова умова виконується. З (2. 9) видно, що похідна функції N' (t) і, отже, функції N (t) може при t>0 бути більше її початкового значення (при умовах N’0 > 2a1 /a2 або N0 > a1 /a2).
Максимум похідної досягається при N’ = N’0 /2, N’ = (a1 /a2 + N0) /2:
(dN’/dt) m = (dN/dt) m = a2 N’02 = a2 (a1 /a2 + N0) 2 /4. (2. 11)
У цей період для поточного, тобто одержуваного в одиницю часу, прибутку маємо:
Pm = p*dN/dt = pa2 (a1 /a2 + N0) 2 /4. (2. 12)
Віднімаючи з Pm початкову поточний прибуток, отримуємо
Pm- P0 = p (a1 /Öa2 – Öa2N0) 2 / 4, (2. 13)
тобто різниця між початковим та максимальним поточним прибутком може бути досить значною. Сумарний економічний ефект від кампанії (його необхідною умовою є виконання нерівності Pm = p (a1 /Öa2 – Öa2N0) 2 / 4 >a1 s) визначається всім її доходом, характеристики якого обчислюються з (2. 9), (2. 10) за допомогою квадратури.
Як випливає з (2. 9), починаючи з деякого моменту, продовжувати рекламу стає невигідно. Дійсно, при N' (t), близьких до N'0, рівняння (2. 9) записується у вигляді
dN’/dt = a2 N’0 (N’0 – N’). (2. 14)
Його рішення прагне при   до граничного значення N'0 (а функція N (t) – до N0) за повільним експоненціальним законом. В одиницю часу з'являється незначне мале число нових покупців, і прибуток, що надходить, за будь-яких умов не може покрити триваючих витрат.
Аналогічні характеристики обчислюються для рівняння (2. 1) і різних його узагальнень, широко використовуваних також для опису впровадження технологічних і інших нововведень.
 
2.2. Методи дослідження економіко-математичної моделі організації рекламної діяльності
 
2.2.1. Застосування диференціальних рівнянь у економіко-математичному моделюванні рекламної діяльності
 
Диференціальні рівняння широко використовуються для опису різних динамічних процесів в економіці, логістики та маркетингу. Нижче розглянемо як за допомогою звичайних диференціальних рівнянь можна змоделювати рекламну кампанію.
Уявімо, що деяка компанія розробила новий продукт або сервіс. Маркетингова стратегія компанії передбачає агресивне рекламування. Щоб перейти до простої математичної моделі, введемо дві змінних:
• Величина q (t) являє собою рекламну активність, яка описується темпом витрати рекламного бюджету, наприклад, сумою у грн. (або в будь-який інший валюті), яку компанія витрачає на рекламу за тиждень;
• Величина A (t) описує обізнаність цільової групи потенційних покупців нового товару або послуги.
Таким чином, можна розглядати ринкову нішу як чорний ящик (рис. 2. 1). Рекламна активність q (t) тут грає роль вхідного параметра, а обізнаність споживачів A (t) є вихідної змінної – вона вимірює відгук системи на вплив реклами.
 
Рис. 2. 1 Графічне зображення ринкової ніші[6, c. 27]
 
Проста модель такого типу була запропонована в 1962 році. Вона називається моделлю Нерлова-Ерроу (NA модель). Дана модель пов'язує між собою дві введені змінні: рекламну активність q (t) і обізнаність споживачів A (t) і описується наступним диференціальним рівнянням (2. 15) :
  (2. 15)
де b – деяка постійна, яка описує ефективність реклами, k – константа, відповідна швидкості «забування».
Дане рівняння містить два члени в правій частині. Перший доданок bq (t) забезпечує лінійний ріст поінформованості споживачів в результаті впливу реклами. Другий член – kA описує протилежний процес – забування про рекламний продукт.
Можна прийняти в першому наближенні, що швидкість забування пропорційна поточного рівня обізнаності A.
Отримане рівняння є лінійним диференціальним рівнянням першого порядку. Його зручніше записати в стандартній формі:
  (2. 16)
Інтегруючий множник є експоненційною функцію:
  (2. 17)
Отже, загальне рішення даного диференціального рівняння виражається формулою
  (2. 18)
Постійна інтегрування C, як завжди, визначається з початкової умови A (t0) =A0.
 
2.2.2. Пуасонівський потік
 
Потік подій – це послідовність однорідних подій, що наступають одне за іншим у випадкові проміжки часу. На осі часу ці події виглядають як показано на рис. 2. 2.
 
Рис. 2. 2. Потік випадкових подій [7, c. 87]
 
де τj – інтервал між подіями (випадкова величина) ;
tсi – момент скоєння i-ї події (відраховується від t=0) ;
Tн – час спостереження.
Прикладом потоку подій можуть служити послідовність моментів торкання злітної смуги літаками, які прилітають в аеропорт.
Інтенсивність потоку λ – це середнє число подій в одиницю часу. Інтенсивність потоку можна розрахувати експериментально за формулою (2. 19) :
  (2. 19)
де N – число подій, що сталися за час спостереження Tн.
Якщо інтервал між подіями τj дорівнює константі або визначений формулою у вигляді: tj = f (tj – 1), то потік називається детермінованим. Інакше потік називається випадковим.
Випадкові потоки бувають:
• ординарні: ймовірність одночасної появи двох і більше подій дорівнює нулю;
• стаціонарні: частота появи подій λ (t) = const (t) ;
• без післядії: ймовірність появи випадкової події не залежить від моменту вчинення попередніх подій.
За еталон потоку в моделюванні прийнято брати Пуассонівський потік.
Пуассонівський потік – це ординарний потік без післядії. Ймовірність того, що за інтервал часу (t0, t0 + τ) відбудеться m подій, визначається із закону Пуассона:
  (2. 20)
  (2. 21)
де a – параметр Пуассона.
Якщо λ (t) =const (t), то це стаціонарний потік Пуассона (найпростіший). В цьому випадку a = λ • t. Якщо λ = var (t), то це нестаціонарний потік Пуассона. Для найпростішого потоку ймовірність появи m подій за час τ дорівнює:
  (2. 22)
Ймовірність непояви (тобто ні одного m = 0) події за час τ дорівнює:
  (2. 23)
Рис. 2. 3 ілюструє залежність P0 від часу. Очевидно, що чим більше час спостереження, тим імовірність непояви жодної події менше. Крім того, чим більш значення λ, тим крутіше йде графік, тобто швидше убуває ймовірність. Це відповідає тому, що якщо інтенсивність появи подій велика, то ймовірність непояви події швидко зменшується з часом спостереження.
 
Рис. 2. 3. Графік ймовірності не появи жодної події в часі [7, c. 89]
 
Імовірність появи хоча б однієї події (PХБ1П) обчислюється так:
  (2. 24)
так як PХБ1П + P0 = 1 (або з'явиться хоча б одна подія, або не з'явиться жодного, – іншого не дано).
З графіка на рис. 2. 4 видно, що ймовірність появи хоча б однієї події прагне з часом до одиниці, тобто при відповідному тривалому спостереженні події таке обов'язково рано чи пізно відбудеться. Чим довше ми спостерігаємо за подією (чим більше t), тим більша ймовірність того, що подія відбудеться – графік функції монотонно зростає.
Чим більше інтенсивність появи події (чим більше λ), тим швидше настає ця подія, і тим швидше функція прагне до одиниці. На графіку параметр λ представлений крутизною лінії (нахил дотичної).
 
Рис. 2. 4. Графік ймовірності появи хоча б однієї події з часом [7, c. 90]
 
Якщо збільшувати λ, то при спостереженні за подією протягом одного і того ж часу τ, ймовірність настання події зростає (рис. 2. 5). Очевидно, що графік виходить з 0, тому що якщо час спостереження нескінченно мало, то ймовірність того, що подія відбудеться за цей час, незначна. І навпаки, якщо час спостереження нескінченно велик, то подія обов'язково відбудеться хоча б один раз, значить, графік прагне до значення ймовірності 1.
 
Рис. 2. 5 Вплив величини інтенсивності потоку на ймовірність появи події протягом заданого інтервалу часу τ [7, c. 91]
 
Вивчаючи закон, можна визначити, що: mx = 1/λ, σ = 1/λ, тобто для найпростішого потоку mx = σ. Рівність математичного очікування середньоквадратичному відхиленню означає, що даний потік – потік без післядії. Дисперсія (точніше, середньоквадратичне відхилення) такого потоку велика. Фізично це означає, що час появи події (відстань між подіями) погано передбачуване, випадково, знаходиться в інтервалі mx – σ < τj < mx + σ. Хоча ясно, що в середньому воно приблизно дорівнює: τj = mx = Tн/N. Подія може з'явитися в будь-який момент часу, але в межах розкиду цього моменту τj щодо mx на [-σ; +σ] (величину післядії). На рис. 2. 6 показані можливі положення події 2 щодо осі часу при заданому σ. В даному випадку говорять, що перша подія не впливає на другу, друга на третю і так далі, тобто післядія відсутня.
 
Рис. 2. 6 Ілюстрація впливу величини σ на становище події на часовій шкалі [7, c. 93]
 
За змістом P одно r, тому, висловлюючи τ з формули (2. 24), остаточно для визначення інтервалів між двома випадковими подіями маємо:
  (2. 25)
де r – рівномірно розподілене від 0 до 1 випадкове число, τ – інтервал між випадковими подіями (випадкова величина τj).
 
2.2.3. Принцип максимуму Понтрягіна
 
Ефективним засобом дослідження задач оптимального управління є принцип максимуму Понтрягіна, який представляє собою необхідну умову оптимальності в таких задачах.
Формулювання принципу максимуму. Розглянемо задачу оптимального управління (2. 26) :
  (2. 26)
  ,
де   (2. 27)
 ,
При цьому передбачається, що моменти to, Т фіксовані, тобто розглядається задача з закріпленим часом; множина U не залежить від часу, фазові обмеження відсутні. Покладемо
  (2. 28),
де  - константа,  .
Функція Н називається функцією Гамільтона. Система лінійних диференціальних рівнянь   відносно змінних   називається сполученої системою, відповідної управління u і траєкторії х. Тут
  (2. 29)
У більш докладної покоординатної записі сполучена система приймає вигляд
  (2. 30)
Система (2. 30) має за будь-яких початкових умовах єдине рішення  , визначене і безперервне на всьому відрізку  .
Наступна теорема висловлює необхідні умови оптимальності в задачі (2. 26).
Теорема (принцип максимуму Понтрягіна). Нехай функції   і Ф, g1,..., gm мають похідні по змінним х1,..., Хn і неперервні разом з цими похідними по сукупності аргументів х , u  U, t  [to. Т]. Припустимо, що (u, х) – рішення задачі (2. 26). Тоді існує рішення   сполученої системи (2. 29), що відповідає управлінню u і траєкторії х, і константа   такі, що |   | + ||   (t) || при t  [to, Т], і виконуються наступні умови:
а) (умова максимуму) при кожному t [to. Т] функція Гамільтона, досягає максимуму по   при v = u (t), т. е.
  (2. 31)
б) (умова трансверсальності на лівому кінці траєкторії) існують числа  , такі, що
  (2. 32)
в) (умова трансверсальності на правому кінці траєкторії) існують числа   такі, що
  (2. 33)
Центральним у теоремі є умова максимуму (2. 31). Якщо відмовитися від припущення про те, що кінцевий момент часу Т фіксований, то теорема залишиться справедливої за винятком умови трансверсальності на правому кінці траєкторії. Умову (2. 33) замінимо умовою
  (2. 34)
і додамо ще одну умову трансверсальності на правому кінці траєкторії:
  (2. 35)
Необхідність в принципі максимуму Понтрягіна виникає у разі коли ніде в допустимому діапазоні керуючої змінної неможливо задовольнити необхідній умові.
 
2.3. Чисельне розв’язання економіко-математичної моделі впливу реклами на капітал компанії
 
До розгляду пропонується модель компанії, яка з метою збільшення капіталу у своїй діяльності використовує рекламу. Завдання – визначити S (T) – максимальний капітал компанії за період T в середньому.
Отже, компанія буде характеризуватися S (t) – капітал, яким володіє компанія в момент t. Будемо вважати, що компанія за час [t; t + Δt] несе витрати [c0 + c1S (t) ]. Величина c0 описує постійні витрати, пов'язані з витратами на оренду, світло і т. д., а величина c1 показує витрати, пов'язані з обслуговуванням капіталу, наприклад, податки. Крім того, будемо вважати, що за час [t; t + Δt] частина капіталу αS (t) Δt виділяється на рекламу. Введемо величину R (t) – функцію ефективності реклами. Її вплив проявляється в тому, що потік покупців є пуассонівським потоком з інтенсивністю (l0 + l1R (t)), де l0 визначає інтенсивність потоку покупців без потоку. Тоді зміни капіталу за період часу  t будуть наступними:
1. Відбувається продаж товару на суму   – випадкової величини з функцією розподілу F ( ) з ймовірністю (l0+l1R (t))  t.
2. Нічого не відбувається.
Тому зміни капіталу  S (t) за момент часу  t складуть величину.
  (2. 36)
Отже, за  t S (t +  t) = S (t) +  S (t).
Усереднимо останній вираз M{S (t +  t) } = M {S (t) } + M { S (t) }.
Так як процес покупок випадковий, то величина S (t) є випадковий процес, а отже, і ступінь впливу реклами стає випадковим процесом, оскільки на рекламу виділяється частка капіталу αS (t) Δt.
Позначимо M{S (t) }=S1 (t), M{R (t) }=R1 (t), M{ }=a1.
  (2. 37)
Переносимо в праву частину S1 (t) і ділимо вираз на  t,  t 0.
  (2. 38)
Розглянемо зміну функції ефективності реклами за  t.
Будемо вважати, що на вплив реклами R (t) діють два процеси: а) процес збільшення R (t), обумовлений вкладенням в рекламу капіталу αS (t) Δt і б) процес забування реклами, пропорційний самої R (t). Тому
 , (2. 39)
  (2. 40)
де коефіцієнт   визначає швидкість забування реклами, а   – ступінь впливу грошей, вкладених в рекламу. Усереднюючи, отримаємо
  (2. 41)
або після звичайних перетворень
  (2. 42)
Отримали систему диференціальних рівнянь. Оскільки завданням є отримання максимального капіталу в кінцевий момент часу Т, то з урахуванням введених позначень функціонал буде мати вигляд S1 (t) => max. Для вирішення цього завдання використовуємо принцип Лагранжа-Понтрягіна. Функціонал набуде вигляду – S1 (t) => min.
  (2. 43)
Введемо вектор Ψ = (ΨS, ΨR), за допомогою якого побудуємо функцію Гамільтона.
  (2. 44)
Використовуючи принцип максимуму, отримаємо, що існує вектор Ψ*= (ΨS*, ΨR*) такий, що де (S1* (t), R1* (t)) – оптимальний процес.
Тоді для всіх 0≤t≤T виконуються наступні умови:
  (2. 45)
Отже
  (2. 46)
Отримаємо умови трансверсальності:
  (2. 47)
Припустимо, що : 0 ≤ ≤  0.
Тоді з урахуванням виду вираження (2. 26)
  (2. 48)
Отже, система диференціальних рівнянь для S (t), R (t) ΨS (t), ΨR (t) має вигляд
  (2. 49)
  (2. 50)
Розглянемо випадок α = 0, що приводить до однорідної лінійної системи четвертого порядку. Система легко розв’язується, і її рішення має вигляд
  (2. 51)
Тепер розглянемо випадок, коли α = α0. У даній ситуації отримуємо неоднорідну систему диференціальних рівнянь четвертого порядку, розв’язуючи яку, отримаємо
  (2. 35)
Тут K1, K2, F1, F2 – константи, а
  (2. 52)
З урахуванням виразу (2. 51)
  (2. 53
приходимо до того, що управління рекламою буде наступним.
I етап. α = 0, отже, R (t) ≡ 0, так як реклами немає, з чого випливає, що ніякої ефективності реклами, відповідно, немає.
Довільно задамо початкові умови S1 (t) = S0. Тоді рішення (2. 55) буде мати константи виду
  (2. 54)
На I етапі рішення системи (6) буде мати вигляд
  (2. 55)
II етап. T0 – момент «включення» реклами. Позначимо Sα (t) як функцію капіталу, де α ≠ 0, відповідно, Rα (t), ΨSα (t), ΨRα (t), а S0 (t) – випадок, де α = 0, відповідно, R0 (t), ΨS0 (t), ΨR0 (t). Врахуємо, що дані значення розглядаються як середні.
Тоді тимчасова вісь розбивається на дві області: перша – без використання реклами, а друга – з використанням.
Для знаходження рішення з урахуванням останнього потрібні умови «зшивання»
  (2. 56)
В отриманому вирішенні перейдемо до єдиного часу, замінивши t на (t – T0). Використовуємо явний вигляд функцій з (2. 50), (2. 52). Тоді рішення після II-го етапу
  (2. 57)
Визначимо явний вигляд констант. Система (2. 56) достатньо просто розв’язується. Тому відразу випишемо рішення. Константи будуть мати вигляд
  (2. 58)
III етап. T1 – момент «відключення» реклами α = 0, але R (t) ≠ 0. З цього моменту починається післядія реклами.
Тепер же умови зшивання приймуть вигляд
  (2. 59)
Для представлення системи в явному вигляді використовуємо (2. 57) і (2. 55). Введемо символи з хвилею, це означає, що базовий вид функцій береться з виразу (2. 57), але константи залежатимуть від D3 та D4, які не визначені після першого етапу.
В отриманому вирішенні перейдемо до єдиного часу, і тоді змінну t замінимо на (t-T1). Система (2. 59) досить просто розв’язується
  (2. 60)
Рішення після III етапу
  (2. 61)
Тут константи з (2. 58). Розглянемо останні два вирази з урахуванням трансверсальності
 Перепишемо останню систему з урахуванням виразів для констант (2. 58) і (2. 59).
   (2. 62)
Розглянемо ΨSα (T1) і ΨRα (T1) з урахуванням виразу (2. 57). Отримаємо таку систему рівнянь
  (2. 63)
Вирази при константах зібрані, тому можна отримати явний вигляд D3, D4, але вигляд їх вкрай складний. У результаті пророблених обчислень отримуємо, що функція капіталу компанії, яка у своїй діяльності використовує рекламу, буде мати вигляд (2. 57) з відповідними константами з (2. 56) і (2. 58) з урахуванням (2. 61).
У другому розділі дипломної роботи були розглянуті основні положення дослідження економіко-математичних моделей у рекламній діяльності, а також основні засоби чисельних методів, котрі можуть бути використані при створенні та розв’язанні економіко-математичних моделей. До розгляду була запропонована модель компанії, яка з метою збільшення капіталу у своїй діяльності використовує рекламу. Була створена економіко-математична модель для визначення S (T) – максимального капіталу компанії за період T в середньому.
У третьому розділі на підставі розробленої економіко-математичної моделі буде проведена програмна реалізація та розрахунки впливу реклами на капітал компанії.
 
РОЗДІЛ 3. ПРОГРАМНА РЕАЛІЗАЦІЯ ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ВПЛИВУ РЕКЛАМИ НА КАПІТАЛ КОМПАНІЇ
 
3.1. Вибір середовища реалізації моделі
 
C++ Builder – програмний продукт, інструмент швидкої розробки програм (RAD), інтегрована середа програмування (IDE), система, яка використовується програмістами для розробки програмного забезпечення на мові програмування C++.
Спочатку розроблявся компанією Borland Software, а потім її підрозділом CodeGear, нині належить компанії Embarcadero Technologies.
C++ Builder об'єднує в собі комплекс об'єктних бібліотек (STL, VCL, CLX, MFC тощо), компілятор, відладчик, редактор коду і багато інших компонентів. Цикл розробки аналогічний Delphi [10]. Більшість компонентів, розроблених в Delphi, можна використовувати і в C++ Builder без модифікації, але зворотне твердження не вірно.
C++ Builder містить інструменти, які за допомогою drag-and-drop дійсно роблять розробку візуальною, спрощує програмування завдяки вбудованому WYSIWYG – редактору інтерфейсу і пр.
С++ Builder спочатку створювалася тільки для платформи Microsoft Windows. Пізніші версії, що містять кроссплатформенну компонентну бібліотеку Borland, підтримують і Windows, і Linux.
У 2003 році Borland випустила C++ BuilderX (CBX), написаний за допомогою тієї ж інфраструктури, що і JBuilder, який при цьому був мало схожий на C++ Builder або Delphi. Цей продукт призначався для розробки великих програм для великих підприємств, але комерційного успіху не досяг. В кінці 2004 року Borland оголосив, що продовжить розвиток класичного C++ Builder і об'єднає його з середовищем розробки Delphi, припинивши, таким чином, розробку C++ BuilderX.
Через приблизно рік після цього оголошення, Borland випустила Borland Developer Studio 2006, який включав в себе Borland C++ Builder 2006, який пропонував поліпшене керування конфігурацією і налагодженням. Borland Developer Studio 2006 – єдиний повноцінний комплект, що містить Delphi, C++ Builder і C # Builder.
У 2007 році CodeGear випустила C++ Builder 2007, в якому реалізувала повну підтримку API Microsoft Windows Vista, збільшила повноту відповідності стандарту ANSI C ++, збільшила швидкість компіляції і збірки до 500%, включила підтримку MS Build, архітектур баз даних DBX4 і «VCL для Web», що підтримує AJAX. Підтримка API Microsoft Windows Vista включила в себе додатки, спочатку оформлені в стилі Vista, і природну підтримку VCL для Aero і Vista Desktop. CodeGear RAD Studio 2007 містить C ++ Builder 2007 і Delphi. Також у 2007 році CodeGear повернула марку «Turbo» і випустила дві «Turbo» версії C++ Builder: Turbo C + + Professional і Turbo C++ Explorer (безкоштовний), заснованих на Borland C++ Builder 2006.
В кінці 2008 року компанія CodeGear випустила нову версію RAD Studio, до якої увійшли Delphi 2009 і С++ Builder 2009. У 2009 році у складі RAD Studio вийшов C++ Builder 2010.
Раніше повідомлялося, що наступна версія, CodeGear C++Builder (кодове ім'я «Commodore»), володітиме підтримкою x86-64 і можливістю створювати машинний x86-64 код. Однак в 2010 році до складу RAD Studio XE включена версія C++ Builder XE без цієї функціональності.
C++ Builder містить бібліотеку VCL для створення платформних програм Windows, а також бібліотеку FireMonkey для розробки програм для платформ Windows і Mac OS X. C++ Builder дозволяє один раз створити додаток FireMonkey, а потім компілювати його для будь-якої з цих платформ. Такі програми використовують всі можливості і швидкодія центрального і графічного процесорів. При цьому вони створюються на основі компонентів в потужній і швидкодіючої візуальної середовищі, що дозволяє економити час і при необхідності отримувати повний доступ до вихідного коду і апаратного забезпечення.
 
3.2. Розробка програми реалізації моделі
 
Розроблена програма складається з двох основних модулів. Перший модуль відповідає за створення тестових даних, другий – за обробку цих даних в контексті розробленої моделі.
На рис. 3. 1 представлена основна форма програми.
 
Рис. 3. 1 Основна форма програми
 
Для початку моделювання, необхідно натиснути кнопку «Змоделювати продаж товару», де здійснюється початковий етап моделювання експериментальних даних (рис. 3. 2).
Необхідні данні для створення набору експериментальних даних: капітал компанії, постійні витрати, витрати пов’язані з обслуговуванням капіталу, кількість днів.
Вважається що компанія отримує кожен день прибуток у розмірі, який випадковим чином моделює програма. Тоді капітал компанії змінюється з урахуванням витрат та отриманням прибутку (рис. 3. 3). 
 
Рис. 3. 2 Моделювання продажу товару та зміни капітал
 
Рис. 3. 3 Моделювання експериментальних даних
 
Після створення експериментальних даних, повертаємося на головну форму та натискаємо на кнопку «Розглянути» (рис. 3. 4).
 
Рис. 3. 4 Етапи розглядання моделі
 
На основі положень, які були розглянуті у другому розділі, можна розглянути три етапи формування впливу реклами на капітал компанії. На першому етапі ніякого впливу не відбувається, ефективність реклами дорівнює нулю, як и витрати на рекламу. На другому етапі на рекламу виділяється частка капіталу  , яку можна задати в залежності від вимог. У полі «Ефективність реклами» визначається число, яке показує комерційний ефект реклами на даному етапі.
Комерційний ефект оцінюють для того, щоб визначити вплив реклами на зміну збуту. Для проведення таких досліджень визначають взаємозв'язок між витратами на рекламу, часткою голосу і часткою ринку і виходячи з отриманих даних роблять висновок про величину ефективності реклами. Частка витрат на рекламу обумовлює частку голосу, який чує покупець від рекламодавця. Він в свою чергу – частку думок споживачів, а думки покупців про товар і фірму – частку ринку рекламодавця. Підприємству слід проаналізувати свої перспективи з утримання або нарощування ринкової частки, звернути увагу на стратегії конкурентів в області просування та можливо збільшити рекламні витрати. Якщо коефіцієнт реклами буде нижче одиниці, то ефективність реклами низька і витрати на її проведення занадто значні. В цьому випадку треба переглядати рекламну стратегію, вишукувати фінансові ресурси на нарощування рекламного бюджету. При рівності коефіцієнта 1, вважають, що ефективність реклами достатня, а розмір витрат на рекламу виправданий (рис. 3. 5, 3. 6). 
 
Рис. 3. 5 Неефективні вкладення 
 
Рис. 3. 6 Ефективні вкладення
 
На третьому етапі виконується розрахунок впливу реклами на капітал компанії в середньому за всі періоди, з урахуванням постійних й змінних витрат та початкового капіталу (рис. 3. 7).
 
Рис. 3. 7 Загальний підрахунок зміни капіталу з урахуванням реклами
 
Таким чином, можна зробити висновок, що модель реалізована вірно й створена програмна реалізація моделі може використовуватися як засіб для планування та аналізу. Однак модель оперує деякими коефіцієнтами, які повинні буди розраховані на підставі дуже великого масиву емпіричних даних в кожній сфері, такими як, наприклад, коефіцієнт швидкості забування реклами.
 
ВИСНОВКИ
 
За результатами дослідження, проведеного в роботі, можна зробити наступні висновки:
1.Висвітлення впливу об’єму рекламних кампаній на обсяг реалізації продукції є доцільними та вкрай необхідними в сучасних ринкових відносинах. Фундаментальні досліджень з проблеми ефективності реклами дуже мало. Досліджень залежності впливу рекламних компаній на обсяг реалізації продукції і того менше, оскільки основні зусилля в даній області направлені на вивчення чисто інформаційних результатів реклами. Дані причини сформулювали доцільність та актуальність теми дипломної роботи.
2.В роботі проведений теоретико-методологічний аналіз сутності реклами та виявлено, що реклама – це інформація про фізичну або юридичну особу, товари, ідеї і почини, яка призначена для невизначеного кола осіб і покликана формувати або підтримувати інтерес до цих фізичних, юридичних осіб, до товарів, ідей і сприяти реалізації товарів, ідей і починів. Суб’єктом рекламування є рекламна аудиторія, яка поділяється на значну кількість цільових груп, щоб краще вивчити та максимально задовольнити їхні потреби.
3.Реклама має позитивні та негативні сторони. До сильних сторін реклами фахівці відносять наступне: вона досягає масової аудиторії; стимулює широкомасштабний попит; надає впізнаваності торговій марці; позиціонує торгову марку або товар; розширює знання про конкретну торгову марку; забезпечує повторність посилання виробника до споживача; забезпечує нагадування про товар та виробника (торгового посередника). Але реклама має і значні негативні сторони, такі як нав’язливість, забруднення інформаційного середовища, марнування більшої частини свого впливу через масову спрямованість тощо.
4.Рекламна кампанія – це сукупність заходів, об’єднаних єдиною метою, які охоплюють визначений період часу та розподілені в часі так, щоб один захід доповнював інші. Планування рекламної кампанії передбачає шість послідовних етапів: визначення цілей рекламної діяльності, визначення цільової аудиторії реклами, вибір рекламних засобів, розробка графіків виходу реклами, складання кошторису рекламних витрат, попередня оцінка ефективності реклами.
5.Завдання оцінки ефективності рекламних комунікацій характеризуються багатофакторністю умов і нелінійним зв'язком показників рекламної активності / витрат на рекламу з результатами (продажами, охопленням аудиторії, кількістю залучених клієнтів). В даний час дослідження, спрямовані на оптимальне планування розміщення реклами та підвищення ефективності рекламних вкладень, актуальні в світлі динамічного розвитку рекламної справи.
6.Протягом багатьох років розроблялися методи, які допомагають компанії визначити рівень витрат на рекламу. Найбільш широко використовуються методи «відсотка продажів», «відсотки прибутку», рівня продажів в одиницях товару, конкурентного паритету, пайової участі в ринку і метод узгодження з завданням. Деякі організації покладаються на якийсь один метод, інші використовують комбінацію методів. Останнім часом змінилася тенденція до використання більш складних методів, ніж визначення бюджету за відсотком продажів. Проте, жоден метод не є вичерпним для всіх ситуацій.
7.Математична теорія реклами в даний час тільки починає розвиватися, і робіт, присвячених економіко-математичним моделям впливу реклами на продаж і планування рекламних кампаній, ще небагато [4-6]. В цих роботах ще не досліджені багато рис впливу реклами на людину, зокрема, той ефект, який можна назвати «докучанням» реклами, коли тривала одноманітна реклама набридає людині, вона перестає звертати на неї увагу, і реклама не впливає згодом на покупку людини. Таким чином, будь-яка реклама розвивається циклами, коли один рекламний ролик існує деякий час, а потім він змінюється іншим.
8.До розгляду пропонувалась модель компанії, яка з метою збільшення капіталу у своїй діяльності використовує рекламу. Завдання – визначити S (T) – максимальний капітал компанії за період T в середньому, а також урахувати ефект «забування» реклами.
9.Середовищем програмної реалізації математичної моделі було обрано середовище C++ Builder – програмний продукт, інструмент швидкої розробки програм (RAD), інтегрована середа програмування (IDE), система, яка використовується програмістами для розробки програмного забезпечення на мові програмування C++.
10.Екноміко-математична модель реалізована вірно й створена програмна реалізація моделі може використовуватися як засіб для планування та аналізу. Однак модель оперує деякими коефіцієнтами, які повинні буди розраховані на підставі дуже великого масиву емпіричних даних в кожній сфері, такими як, наприклад, коефіцієнт швидкості забування реклами.
 
ПЕРЕЛІК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
  1. Ахмедова Д. Д. Математическая модель функционирования страховой компании с учетом расходов на рекламу / Д. Д. Ахмедова, А. Ф. Терпугов // Изв. вузов. Физика. – 2001. – №1. – С. 25-29.
  2. Балабанова Л. В. Комерційна діяльність: маркетинг і логістика: Навч. посібник/ Л. В. Балабанова, А. М. Германчук. – К. : Професіонал, 2006. – 288с.
  3. Березин И. С. Маркетинговый анализ. – М. : Управление персоналом, 2006. – 352с.
  4. Бердышев, С. Н. Эффективная наружная реклама: практическое пособие. – М. : Дашков и К, 2010. – 132 с.
  5. Бондаренко И. В. Современный маркетинг: Учебное пособие для вузов/ И. В. Бондаренко, В. И. Дубницкий. – Донецк: Юго-Восток, 2005. – 304с.
  6. Бородина И. П. Анализ влияния рекламы на рыночное поведение потребителей / И. П. Бородина // Системный анализ в проектировании и управлении. Тез. докл. VII Междунар. научно-практич. конференция-Елец. 2003.
  7. Бревнов А. А. Маркетинг малого предприятия. – К. : ВИРА-Р, 2002. – 384с.
  8. Васильков Ю. В. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании / Ю. В. Васильков, Н. Н. Василькова. – М. : Финансы и статистика, 2011. – 484 с.
  9. Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология / Е. С. Вентцель. – М. : Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1980. – 680 с.
  10. Вержбицкий В. М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения) / В. М. Вержбицкий. – М. : Высшая школа, 2001.
  11. Владимирська, Г. О. Реклама: навчальний посібник. – К. : Кондор, 2009. – 334 с.
  12. Гаркавенко С. С. Маркетинг: Підручник. – К. : Лібра, 2005. – 712с.
  13. Гінгстон П. Найкраща книжка про збут і маркетинг. – Львів. : „Сейбр-Світло”, 2005. – 208с.
  14. Громенко, Ю. Порівняльна реклама як предмет правового регулювання в законодавстві України //ПІДПРИЄМНИЦТВО, ГОСПОДАРСТВО І ПРАВО. – 2006. – № 6. – С. 50-53
  15. Джефкінс, Ф. Реклама: практичний посібник: переклад з 4-го англійського видання. – К. : Знання, 2008. – 568 с.
  16. Дяченко, Т. О. Реклама: минуле, сучасне, майбутнє //ФОРМУВАННЯ РИНКОВИХ ВІДНОСИН В УКРАЇНІ. – 2006. – № 5. – С. 86-89
  17. Завьялов П. С. Маркетинг у схемах, рисунках, таблицях: Учеб. пособие для вузов. – М. : ИНФРА-М, 2004. – 496с.
  18. Земляков І. С. Основи маркетингу: Навч. посібник для вузів/ І. С. Земляков, І. Б. Рижий. – К. : ЦНЛ, 2004. – 352с.
  19. Іванов, В. Реклама та зв'язки з громадськістю – поле діяльності сучасних мас-медіа //ПАМ'ЯТЬ СТОЛІТЬ. УКРАЇНА. – 2007. – № 3. – С. 41-59
  20. Каракай Ю. В. Маркетинг інноваційних товарів: Монографія / Ю. В. Каракай. – К. : КНЕУ, 2005. – 226с.
  21. Кардаш В. Я. Маркетингова товарна політика: Підручник. – К. : КНЕУ, 2004. – 240с.
  22. Кац В. М. Влияние расходов на рекламу на характеристики страховой компании / В. М. Кац, К. И. Лившиц // Изв. Вузов. Физика, 2001. -№1. -С. 28-33.
  23. Крамер А. И. Стационарные случайные процессы / А. И. Крамер, М. Линдбеттер. – М. : Мир, 1987. – 313с.
  24. Ковалев А. И. Войленко В. В. Маркетинговый анализ. – М. : Центр экономики и маркетинга, 2005. – 255с.
  25. Коженин Г. Я. Маркетинг предприятия: Учеб. пособие / Г. Я. Кожемякин, С. Г. Мисербиева. – М. : Книжный дом, 2004. – 240с.
  26. Корольчук О. П. Формування та розвиток вертикальних маркетингових систем в Україні: Монографія/ О. П. Корольчук. – К. : КНТЕУ, 2004. – 217с.
  27. Кротов И. И. Товарные стратегии и марочные технологии в современном маркетинге: Учебное пособие/ И. И. Кротов, Н. Б. Карягин. – М. : Экономистъ, 2005. – 166с.
  28. Крюков А. Ф. Управление маркетингом: Учебное поссобие для вузов/ А. Ф. Крюков. – М. : Кнорус, 2005. – 368с.
  29. Лук’янець Т. І. Рекламний менеджмент/ Т. І. Лук’янець. – К. : КНЕУ, 2003. – 440 с.
  30. Малхотра Н. К. Маркетинговые исследования: Практическое руководство. – 3-е изд. Перевод с английского. – М. : Вільямс, 2002. – 960с.
  31. Маркетинговая стратегия. Курс МВА/ О. Уолкер, Х. Бойлд и др.. – Пер. с англ.. – М. : Вершина, 2006. – 496с.
  32. Микота В. Реклама и рекламная деятельность. – Х. : Фактор, 2004. – 256 с.
  33. Музыкант, В. Л. Реклама в действии стратегии продвижения: Учеб. пособ.. – М. : ЭКСМО, 2007. – 240 с.
  34. Обритько, Б. А. Реклама і рекламна діяльність: Курс лекцій. – К. : МАУП, 2002. – 240с.
  35. Петросян Л. А. Теория игр: Учеб. пособие для ун-тов / Л. А. Петросян, Н. А. Зенкевич, Е. А. Семина. – М. : Высш. шк., Книжный дом «Университет», 2008. – С. 304.
  36. Пономарев, В. Д. Наружная реклама Украины. Есть все признаки жизни //МАРКЕТИНГ И РЕКЛАМА. – 2009. – № 11. – С. 71-73
  37. Понтрягин Л. С. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. – М: Наука, 1969. – 384 с.
  38. Растригин Л. А. Современные принципы управления сложными объектами / Л. А. Растригин. – М. : Сов. радио, 1980. – 232 с.
  39. Репьев, А. П. Реклама: эффективно – не обязательно дорого //МАРКЕТИНГ И РЕКЛАМА. – 2009. – № 2. – С. 60-68
  40. Ромат, Е. Личностная реклама в системе персонального маркетинга //МАРКЕТИНГ И РЕКЛАМА. – 2010. – № 2. – С. 30-35
  41. Соціальна реклама в Україні: здобутки та перспективи //МАРКЕТИНГ В УКРАЇНІ. – 2006. – № 1. – С. 4-5
  42. Томпсон К. Т. Автоматизация продаж. Умный подход/ К. Т. Томсон. – М. : Вершина, 2006. – 272с.
  43. Фельсер, Г. Психология потребителей и реклама: [перевод с немецкого]. – Х. : Гуманитарный центр, 2009. – 704 с.
  44. Холингворт Д. Borland C++ Builder 6. Руководство разработчика / Д. Холингворт, М. Кэшмэн. – М. : «Вильямс», 2004. – 976 с.
  45. Щербак В. Г. Маркетингова політика розподілу: Навч. посібник / Х. : ІНЖЕК, 2004. – 176с.
  46. Щербань В. М. Маркетинг: Навч. посібник для вузів/ В. М. Щербань. – К. : ЦНЛ, 2006. – 208с.
  47. Щепилова, Г. Реклама в структуре современных СМИ //ВЕСТНИК МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. ЖУРНАЛИСТИКА. – 2008. – № 5. – С. 64-69
  48. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л. Э. Эльсгольц. – М: Наука, 1969. – 640 с.
  49. Яковлев, А. А. Контекстная реклама: основы, секреты, трюки. – СПб. : БХВ-Петербург, 2009. – 304 с.
  50. Яцюк, Д. Реклама як основний чинник формування і функціонування бренду //МАРКЕТИНГ В УКРАЇНІ. – 2007. – № 3. – С. 28-32

 

 
 
Фото Капча