Світ симетрії

Записані системи рівностей виражають залежність координат образу від координат праобразу.

Можливі також інші визначення паралельного перенесення Т, зокрема таке: перетворення, при якому кожній точці А ставиться у відповідність така точка  , що  , де  – деякий вектор. При цьому  .

Пряму, вздовж якої відбувається паралельне перенесення, називають віссю паралельного перенесення (трансляції). Класичним прикладом паралельного перенесення у фізиці може бути явище поширення звукової хвилі. У хвилі згущення і розрідження середовища самозміщуються.

Із симетрією паралельного перенесення пов'язані такі важливі поняття, як плоска решітка (двовимірна періодична структура) і просторова решітка (тривимірна періодична структура).

Плоска решітка утворюється від перетину двох сімей паралельних рівновіддалених одна від одної прямих. Точки перетину прямих називаються вузлами решітки (рис.16). Решітка задана, якщо відома її елементарна комірка, яку переносять паралельно самій собі вздовж прямої АВ на відстані, кратні  , чи вздовж прямої АС на відстані, кратні в (рис.16). Переносна симетрія плоскої решітки повністю визначається сукупністю векторів  ,  . Нехай  – кут між ними. Тоді розрізняють п'ять типів плоских решіток.  Це: Просторова решітка повністю задається сукупністю трьох векторів  , які задають елементарну комірку решітки Браве (див. рис.17,а). Положення будь-якої точки в цьому разі визначається відповідно комбінацією переміщень

де m, n, p – цілі числа, включаючи нуль. Для плоскої, зокрема, решітки р=0. Вектори трансляції   – це міжатомні відстані в кристалічній решітці. Їх числове значення в кристалах порядку  м.

Існує 14 типів просторових решіток Браве (Браве – французький кристалограф ХІХ ст). Кожна така решітка (див. рис.17,б) – це паралелепіпед, побудований з допомогою паралельного перенесення якогось із вузлів решітки в трьох напрямках. Це напрямки координатних осей, паралельні осям симетрії кристала або перпендикулярні до його площин симетрії.

Повна симетрія розміщення атомів кристалічної решітки, які її утворюють, визначається поєднанням трансляційної симетрії і елементів симетрій, пов'язаних з поворотами і відбиттям. Це поєднання веде до елементів симетрії: гвинтових осей і площини дзеркального ковзання. Симетрія зовнішньої форми кристала є наслідком симетрії кристалічної решітки.

Дзеркально-поворотна і ковзна симетрії

З послідовно виконаними операціями повороту й відбиттям пов'язують новий тип симетрії – дзеркально-поворотної симетрії.

Звернемося до прикладів. На рис. 18 в квадрат з паперу косо вписано другий квадрат. Відігнемо кути паперу по лініях, що обмежують внутрішній квадрат (рис.19). Знайдений таким чином об'єкт має поворотну вісь АВ другого порядку й не має площини симетрії. Розглянемо його зверху й знизу, тобто з протилежного боку до листа паперу. Ми упевнимося, що в кожному разі об'єкт має однаковий вигляд. Очевидно поворотна симетрія другого порядку не вичерпує всієї його симетрії. Об'єкт має додаткову симетрію – так звану дзеркально-поворотну симетрію. Тут об'єкт суміщається сам із собою в результаті повороту на 900 навколо осі АВ і наступного відбиття у площині CDEF. При цьому вісь АВ називають дзеркально-поворотною віссю 4-го порядку.

Виявляється, комбінація трансляції з наступним відбиттям відносно площини, паралельної вектору паралельного перенесення, також проявляє деякі типи симетрії.

Так, фігура на рис.20 має переносну симетрію вздовж осі АВ з періодом 2 . Водночас вона проявляє ще один тип симетрії – симетрію відносного переносу вздовж осі АВ з періодом   і наступного відбиття відносно осі АВ. Ця вісь називається ковзною віссю симетрії з періодом  . Композиція паралельного перенесення і симетрії відносно площини, паралельної вектору паралельного перенесення, називається ковзною симетрією.

Гвинтовий рух. Гвинтові структури

Цей рух – поєднання повороту навколо осі і паралельного перенесення вздовж цієї самої осі. Поворотну вісь при цьому називають гвинтовою віссю. Приклад – гвинтова драбина (або сходи), гвинти в техніці, молекули РНК і ДНК. Повітряний гвинт – одна з основних конструкцій сучасного літака.

Якщо рух відбувається від спостерігача, а поворот за годинниковою стрілкою, гвинтовий рух називається правим, якщо проти гвинтової стрілки – лівий (рис.21-22). Обидва рухи – дзеркально-симетричні. Відстань, на яку зміщується точка простору внаслідок одного повороту, називається періодом трансляції.

Найкоротший шлях між двома точками на циліндричній поверхні – це гвинтова лінія. Переконайтеся в цьому, зробивши розгортку циліндра, на якому нанесена гвинтова лінія.

Коли правий гвинт відбивається в дзеркалі, він стає лівим, а лівий, навпаки, стає правим. Обидва гвинти – це два анантиоморфи. Гвинтову лінію ще називають просторовою спіраллю.

Гвинтова структура властива не тільки технічним пристроям, вона часто поширена в природі. Проявляється в розміщенні листків на стеблах, у шишок і рослин, які в'ються (наприклад квасолі, хмелю тощо).

У більшості випадків решітки кристалів володіють кристальною симетрією, хоча часто бувають дзеркально-симетричні решітки. Декілька з них мають гвинтову структуру, наприклад, решітка кварцу. В основі її тетраедр із атомом кремнію в центрі, а у вершинах розташовані атоми кисню. Тетраедри розташовані в напрямі головної осі вздовж гвинтової лінії, яка може бути закручена і вліво, і вправо. Тому існує два енантиоморфічні види кварцу (рис.23), де один із них є дзеркальним відбиттям другого.

Найпоширеніші природні гвинти в молекулах білків. До складу людського організму входять тисячі білків з унікальною структурою. Білки – це органічна речовина, що є основним компонентом клітин елементарних біологічних систем, які лежать в