Світ симетрії

Розв'язання. Як відомо, цей розпад здійснюється згідно зі схемою:  , де   - мюон,   - нейтрино. Нейтрино, що народжується, має лівогвинтовий напрям обертання. Дзеркальне відображення перетворює лівий гвинт на правий, тому образом   мало б бути антинейтрино. Проте, як свідчить досвід, воно в таких взаємодіях не народжується.

У сильних і електромагнітних взаємодіях парність стану системи зберігається: якщо система мала в початковому стані дзеркальну симетрію певного типу, то вона збереже її в усі наступні моменти часу. Парний стан системи не перейде в непарний, і навпаки.

Форма й симетрія кристалів переважно залежать від взаємозв'язків між атомами. Якщо будь-якій грані кристала можна поставити у відповідність таку його грань, яка є дзеркальним відображенням відносно певної площини, що проходить через кристал, то ця площина є площиною симетрії кристала. Трапляються проте кристали, які не мають площини симетрії (наприклад, кристали кварцу), або мають одну (наприклад, гіпс) чи кілька (кристал кам'яної солі має вісім, молекула води дві).

Дзеркальна симетрія простежується у звукових хвиль, атомах і молекулах, електромагнітному полі та інших об’єктах.

Поняття симетрії охоплює структуру, що вимагає такі три фактори: 1) об'єкт (явище), симетрія якого розглядається; 2) перетворення, відносно яких розглядається симетрія; 3) незмінність (інваріантність) і збереження певних властивостей об'єкта, які виражають розглядувану симетрію. Інваріантність існує не взагалі, а лише щодо певних перетворень, внаслідок яких щось зберігається. Вона може бути суто геометричною (збереження геометричної форми), але може й не мати відношення до геометрії (збереження енергії системою тіл або збереження біологічних властивостей). Перетворення можуть мати чисто геометричний зміст – поворот, паралельне перенесення, перестановки, - а можуть не мати його – заміна частинок античастинками, перехід одного покоління до іншого.

Нижче ми коротко торкнемося саме цих геометричних перетворень, крім уже розглянутих, і пов'язаних із ними симетрій, які часто мають застосування у фізиці. Це, зокрема, вже згадані поворот, паралельне перенесення, перестановки.

Поворотна симетрія

Нехай об'єкт (фігура) суміщається сам із собою при повороті навколо деякої осі   (точки О) на кут, рівний   (чи кратний цій величині), де   (цілі додатні числа). Тоді кажуть, що вісь (точка О) для об'єкта є віссю (центром) симетрії, а сам об'єкт має поворотну симетрію порядку n. Порядок осі (центра) повороту або кількість самосуміщень при повороті на 3600 визначається так:  , де   – кут найменшого повороту, при якому фігури суміщаються.

Об'єкт на рис.10,а перетворюється в себе при поворотах на кути, кратні куту 600 (n=6), а об'єкт, поданий на рис. 10,б – при поворотах на 1200 (n=3). Об'єкт (рис.10,в) має поруч з поворотною віссю 4-го порядку чотири осі 2-го порядку (штрихові прямі).

Задача. Чи володіє форма букв “П”, “Ф”, “И” дзеркальною і поворотною симетріями? Якщо має поворотну вісь, то якого порядку? Відповідь проілюструвати рисунком.

Розв’язання. Буква „П” симетрична відносно вертикальної площини (рис.11,а). У неї відсутня поворотна симетрія. Буква “Ф” симетрична відносно двох плоских дзеркал (рис. 11, б). Має поворотну симетрію 2-го порядку. Буква “И” не має дзеркальної симетрії, але є поворотна симетрія 2-го порядку (рис. 11,в).

Підсумовуючи сказане стосовно поворотної симетрії, бачимо, що крім тривіальної осі 1-го порядку, можливі ще осі симетрії 2-го, 3-го, 4-го і 6-го порядку. Структури, що володіють такими осями симетрії, схематично показані на рис.12,а (білі і чорні кружальця та хрестики – атоми різних сортів).

Неможливість поворотних симетрій 5-го порядку і   порядків у кристалах випливає також із принципу щільного упакування частинок речовини як рівноважнішого її стану. Так, кристалічна решітка не може мати осі повороту 5-го порядку, бо правильними п'ятикутниками не можна щільно покрити площину. Це пов'язано з тим, що при повороті системи для суміщення її зі самою собою необхідно, щоб увесь простір був заповнений без порожніх проміжків. Проте відомо, що можна суцільно заповнити площину трикутниками, паралелограмами, шестикутниками, восьмикутниками і т.д. При   – многокутники покривають площину з перекриттями. Ці два випадки, коли  , ілюструє рис.12 (б).

Принцип щільного упакування речовини й оборотна симетрія пояснюють явище звільнення об'єму при замерзанні води. При зниженні температури тепловий рух її молекул послаблюється і водночас упорядковується взаємне розміщення молекул. Між молекулами льоду виникають порожнини, які при плавленні льоду частково заповнюються молекулами води. При цьому густина води збільшується, а об'єм рідини зменшується, тоді як при перетворенні води в лід все навпаки, при цьому у воді виникають сили, які руйнують навіть міцні споруди. Проте більшість твердих тіл мають таку кристалічну структуру, що при переході у рідкий стан вони розширяються і їхній об'єм збільшується.

Правила симетрії

Існує чотири основні правила симетрії. Це правило лівої руки, правило свердлика, правила масштабу і гіроскопа.

І. Правило лівої руки – положення, яке дає змогу за відомим напрямом вектора індукції магнітного поля і напрямом електричного струму знайти напрям дії сили Ампера (також напрям сили Лоренца). Сенс цього правила зводиться до такого: якщо ліву руку розмістити так, щоб складова магнітної індукції  , перпендикулярна до швидкості заряду, входила в долоню, а чотири пальці були напрямлені за рухом позитивного заряду (проти