Світ симетрії

Незважаючи на різні шляхи творення планет, стимулюючим фактором їх виникнення і розвитку були основні закони еволюції матерії, тобто ті закони, які пов’язані з проявами симетрії та асиметрії. Так, число планет – гігантів, як і планет типу Землі, дорівнює чотирьом унаслідок симетрії такої конфігурації.

Інваріанти (величини, співвідношення, властивості тощо, які пов’язані з деяким математичним об’єктом і не змінюються при його певних змінах), так само як і перетворення, можуть бути різними. Зокрема, геометричними (збереження форми відносно геометричних перетворень), фізичними (заміна, наприклад, додатного заряду від’ємним), біологічними (збереження біологічних властивостей при переході від одного покоління до другого) тощо.

Мова науки про природу – математика

Потребу математизації вивчення природи, зокрема фізичного й виробничо-технічного знання, найпроникливіші вчені відчували з давніх-давен. Без високо розвинутого логічного й обчислювального апарату математики з її сучасною символікою неможливо уявити успішного розвитку науки про природу, яка, користуючись математикою, досягає досконалості. Усі її теоретичні положення зараз набувають обрисів, характерних для математичних теорій. Відбувається певна формалізація науки в цілому, коли вся термінологія якоїсь теорії замінюється символікою, а всі змістові твердження – відповідними їм послідовностями символів, або формулами.

Сьогодні математика – мова науки. Жива розмовна мова у наш час – неспрможна для розвитку науково-технічного прогресу. Мова математики (формули, графіки, цифровий матеріал, креслення тощо) не допускає двозначності у тлумаченні, зручніша й економніша, не громіздка, зрозуміла для всіх фахівців світу.

Чіткою і лаконічною є також мова хімічних символів, проте вона обмежена однією лише наукою – хімією. Мова математики універсальніша, дозволяє виконувати математичні дії, спрощує записи інформації, водночас сама являючись однією з наук.

У сьогоденні виникла нова форма мови, пов’язана з обчислювальною технікою (ЕОМ), яка застосовується для управління виробничими процесами, інформаційними системами, лініями зв’язку, для організації економічних задач. Для ЕОМ опрацьовано кілька форм мови, але всі вони якось пов’язані з математикою. Математика – це метод вираження думок, системи дій, це своєрідне швидкісне абсолютно точне письмо, фіксація абстрактної думки, де відсутні неточності і розпливчастість тлумачення написаного. Математична схема дає фізикам змогу передбачати результати наступних експериментів.

Певна закономірність чи процес або явище, що вивчаються математичними засобами, починається з побудови відповідної їм математичної моделі. Тут спливають на поверхню їх найістотніші риси та властивості, що описуються математичними співвідношеннями. Математика – це не тільки інструмент виконання розрахунків, а й надійний спосіб пізнання законів матеріального світу, розкриття впорядкованого зв’язку ідей.

Фізичні теорії повинні бути кількісними. Вони стають завершеними, якщо виражені мовою математичних формул. Їх добувають, розв’язуючи основні рівняння теорії.

Математичні моделі допомагають вивчати таку загальну закономірність навколишнього світу, як симетрія. Вона посилює проникнення людської думки в глибинні таємниці природи, допомагає осмислювати її закони, часто неочевидні і ускладнені.

У сучасній фізиці симетрія має досить абстрактний характер, далека від наочності, бо надміру прихована в математичному апараті.

Симетрія в математиці (геометрії)

В основі будь-якої фізичної теорії лежить свій принцип відносності. Він вимагає інваріантності теорії відносно якоїсь групи симетрії, яка виражає властивості симетрії простору-часу, загальної (глобальної) у застосуванні. Тому геометричні принципи симетрії переважно формулюються в термінах простору і часу.

Найочевиднішими і найпростішими в математиці є геометричні перетворення і пов’язана з ними геометрична симетрія, яка зосереджує увагу на проблемах, що випливають із симетрії простору. Це переважно описання симетрії геометричних фігур скінченних розмірів.

Під геометричним перетворенням симетрії розуміють тільки взаємно-однозначні перетворення фігур. При перетворенні фігури F у фігуру  : кожній точці фігури F відповідає певна точка фігури  ; кожна точка фігури   відповідає певній точці F. Найпоширенішими є такі геометричні перетворення: симетрія відносно точки, або центральна симетрія; симетрія відносно прямої (осьова симетрія) і площини, поворот, паралельна перенесення (трансляція), гомотетія і подібність.

Численні об’єкти реального світу мають так званий центр симетрії. Вони центральносиметричні. Найпоширеніші серед них є квадрат, прямокутник, правильний многокутник, коло, куб, куля. Центр симетрії у них збігається з центром фігури. Геометрична фігура F називається центрально-симетричною, якщо існує виокремлена точка 0, відносно якої можна здійснити відображення кожної точки Х фігури F у таку точку   цієї самої фігури, яка розміщена на прямій ОХ на відстані  , що дорівнює ОХ.

У довкіллі існує багато об’єктів, які не є центральносиметричними. Це піраміда, конус, молекула метану СН4, різні види кристалів тощо.

Із знайдених співвідношень видно, що центр симетрії може слугувати початком системи координат для найзручнішої центральної симетрії. Геометричні перетворення часто значно спрощуються, якщо застосовуються координатні записи.

Проілюструємо сказане такою задачею.

Задача. Знайти положення центра мас однорідного диска радіусом R із якого вирізано отвір радіусом   (рис. 1).

Розв’язання. Диск з вирізом формально можна розглядати як суцільний диск маси m, на який накладено диск радіусом r, що має від’ємну масу –