Теоретичні засади застосування засічок для визначення координат точок знімальної основи

 Геодезичні  засічки  без  надлишкових  вимірювань прийнято називати одноразовими.

Засічки з надлишковими  вимірюваннями називають  багаторазовими.

Наявність надмірних вимірювань дозволяють виконати їх математичну обробку - зрівнювання.  Строге зрівнювання вимірювань в різних геодезичних побудовах виконується на ЕОМ; 

Для  ручного  рахунку     звичайно застосовують нестрогі  (спрощені)  способи зрівнювання.  

Спрощений спосіб зрівнювання якої-небудь багатократної засічки (   вимірювань) передбачає:

-  формування  і рішення  всіх можливих варіантів  незалежних  одноразових  засічок  (їх   число рівне   );

- обчислення середніх значень координат точки зі всіх одержаних результатів,  якщо  вони розрізняються між собою  на  допустиму величину.

 

 

Положення точки на площині по двох вимірюваннях виходить в перетині  двох ліній положення.

Для зміряної відстані   лінією положення є коло радіусу   з центром в початковому пункті А (рис.     а).

Для зміряного кута     з вершиною  в  початковому     пункті А - пряма лінія,  проведена  під  кутом    до початкової  лінії АВ  (рис.   б).

Унаслідок помилок вимірювань вводиться поняття "смуга положення". 

Для відстані  , зміряної з середньою квадратичною помилкою    - це круговий пояс (кільце) завширшки    між двома колами радіусами

а) для зміряної відстані,                               б) для зміряного кута.

 

Рисунок  9 - Лінія положення і "смуга положення" точки  Р:

Для кута , зміряного з помилкою    - це вузький трикутник з вершиною в точці А і кутом при вершині  .  

Лінія положення точки є віссю симетрії смуги положення (рис. 9б).

Вводиться так само поняття "вектор похибки вимірювання".

Він  позначений  його через   .  

Для зміряної відстані вектор    направлений уздовж лінії   (прямо або назад)  і має модуль   .

Для зміряного кута вектор    направлений перпендикулярно лінії  АР (вліво або вправо від неї) і має модуль :

Точка Р, знаходячись на перетині двох ліній положення, є центром чотирикутника положення, що утворюється в перетині двох смуг положення (рис.  7).  Цей  елементарний  чотирикутник можна вважати паралелограмом.  В межах його дуги кіл можна замінити відрізками дотичних,  а  сторони кута, що розходяться, - відрізками прямих,  паралельних  лінії положення. Відстані від точки Р  до меж чотирикутника неоднакові, що говорить про відмінність помилок положення точки  Р по різних напрямах.

 а) у лінійній засічці, б) у прямій кутовій засічці.

 

Рисунок 10 - Чотирикутник положення

 

Лінії положення ділять чотирикутник положення на 4 рівні частини (Рис. 10 ),  які називають паралелограмами похибок з кутами при вершинах 

 і . Кут  між векторами помилок.

 

Рисунок  11 - Паралелограми похибок

 

 Висоти паралелограмів помилок чисельно рівні  модулям векторів   і ,  сторони паралелограмів одержують по :  

Найбільше ухилення від точки   мають  дві  протилежні вершини паралелограма положення; дві інші вершини мають якнайменше ухилення. 

У будь-якій геодезичній побудові  існує так зване "найслабкіше місце".  У цьому місці помилка якого-небудь елементу має найбільше значення.  Як правило, для узагальненої характеристики точності даної побудови береться значення помилки саме в цьому найслабкішому місці. 

Відповідно до цього принципу за помилку положення точки Р   можна прийняти довжину великої діагоналі паралелограма похибок

Похибка положення точки Р - це скалярна величина, що показує середнє квадратичне відхилення по різних напрямах обчисленого положення  точки    від  її  істинного положення

                              

З цієї формули  одержано формули для оцінки точності будь-якої одноразової засічки:

• полярна засічка
• пряма кутова засічка
• лінійна засічка
• зворотна кутова засічка

У цій засічка і права частина формули похибки положення точки Р  повинна містити три складові:

• від похибки лінійної засічки  точки Ц1 з початкових пунктів   А і В ,
• від похибки  лінійної засічки  точки Ц2  и   з початкових пунктів В і С ,
• від похибки  лінійної засічки  точки Р   з точок  Ц1 і Ц2.

У практиці часто достатньо прийняти,  що істинне положення точки   Р знаходиться усередині кола радіусу    з  центром в точці Р . 

У строгій теорії розглянутий  критерій  називається радіальною похибкою.  Крім того, в цій теорії застосовуються і складніші критерії,  такі як  "еліпс помилок"  (крива  2-го порядку),  "подера еліпса помилок"  (крива 4-го порядку)  і ін. 

При кількості вимірювань  (багатократні засічки точка  виходить в  перетині    ліній положення, відповідних зрівняним значенням вимірювань.  Смуги положення,  перетинаючись, утворюють  -кутник.  Похибка положення  точки Р визначатиметься відстанню від точки   до найвіддаленішої  від неї вершини цього багатокутника. 

 

 

 

Просторову засічку за схемою, що розглядається (рис.1), використовують  для  визначення  координат і висот знімальної основи при щільно забудованій