Гидравлические машины

Следует заметить, что силы гидростатического давления   и  , равные по величине и противоположные по направлению, взаимно уравновешиваются, а потому нами не будут приниматься во внимание. Определим силы гидростатического давления  ,  и  .

Обозначим через  ,  и   средние гидростатические давления, действующие на каждую из рассматриваемых сторон призмы в направлении осей  ,   и нормали   к площадке BCEF. Ввиду бесконечной- малости -площадок ABCD,.ADEF и BCEF средние-гидростатические давления  ,   и   являются одновременно и гидростатическими давлениями в любой точке указанных площадок. Тогда силы гидростатического давления  ,  и   могут быть выражены следующим образом:

 

 ;  ;  .

 

Для того чтобы призма ABCDEF находилась в равновесии, сумма проекций на любую ось всех сил, действующих на призму, должна быть равна нулю. Составим условия равновесия исследуемой нами призмы относительно координатных осей   и  . Для этого проектируем на эти оси все действующие силы. Так как силы гидростатического давления   и  , будучи параллельны соответствующим осям координат, проектируются в натуральную величину, указанные условия равновесия в аналитической форме могут быть представлены следующим образом:

 

 ;

 ;

 

где  - угол между направлением силы   и осью  , или

 

 ;

 .

 

Так как очевидно, что (рис. 5.3)

 

  , а  .

 

то

 

 ;

 ,

 

или

 

 ;

 ,

 

что приводит к следующему окончательному равенству:

 

 ;

 ,

 

или

 

 .

 

Следовательно, гидростатическое давление в исследуемой точке А по всем направлениям одинаково, поскольку направление   было взято нами произвольно.

 

 

В общем случае на жидкость могут действовать объемные и поверхностные силы по всем направлениям. Равновесие жидкости под действием этих сил, приведенных к единице массы, представляется следующей системой уравнений, полученной Л.Эйлером в 1755 г.:

 

 ;

 ; (5.1)

 .

 

Здесь  ,   и  проекции ускорения на оси координат, а  ,   и   - изменение давления по соответствующим направлениям (градиент).

Умножив уравнения (5.1) соответственно на  ,  ,   и складывая их найдем:

 

 .

 

Так как  , то выражение в скобках в правой части этого уравнения представляет собой полный дифференциал давления и, следовательно,

 

  (5.2)

 

Рассмотрим наиболее распространенный случай равновесия жидкости, заключенной в вертикальном цилиндрическом сосуде, когда она находится в покое под действием силы тяжести и внешнего давления   на ее свободной поверхности.

 

Рис. 5.4

 

Проекции ускорения на оси координат для принятых условий равновесия соответственно равны

 

 ,  ,  .

 

Знак «-» перед ускорением силы тяжести обусловлен тем, что ось  направлена в противоположную силе тяжести сторону.

Следовательно, дифференциальное уравнение (5.2) для рассматриваемого случая приме следующий вид:

 

или

 

 . (5.3)

 

Полученное уравнение является дифференциальным уравнением равновесия жидкости, находящейся под действием только силы тяжести.

В результате интегрирования уравнения (5.3) имеем

 

 , (5.4)

 

где С – постоянная интегрирования.

Граничные условия на поверхности жидкости нам известны: при  , давление  . Следовательно,

 

 .

 

Подставим полученное выражение для постоянной интегрирования С в зависимость (5.4)

 

 =   (5.4а)

 

Или окончательно

 

  (5.5)

 

Учитывая, что   - величина заглубления заданной точки под свободную поверхность жидкости (см рис.5.4), на основании зависимости (5.5) можем написать уравнение, называемое основным уравнением гидростатики:

 

 , (5.6)

 

где   - абсолютное гидростатическое давление в точке М, которое равно давлению на свободной поверхности, сложенному с так называемым весовым давлением, обусловленным весом самой жидкости. Разность между абсолютным гидростатическим и атмосферным давлением   называется избыточным гидростатическим или избыточным манометрическим давлением, характеризующим избыток давления по сравнению с атмосферным.

Если обозначить абсолютное давление через , а избыточное - через  , то можно написать такое равенство:

 

 ,

 

или

 

  (5.7)

 

Пример: Определить абсолютное и избыточное давление на дно открытого резервуара, наполненного водой. Глубина воды в резервуаре  = 4,0 м.

Пользуясь уравнением (5.6) запишем

 

 ,

 

где  = Н/м2;  =1000 кг/м3;  = 9,81 м/с2, 

получаем 

 

 =140540 Н/м2,

 

А из (5.7)

 

  Н/м2.

 

В технике иногда применяются внесистемные единицы давления:

- физическая атмосфера 1 атм=  Н/м2,

 

1 атм=760 мм рт. ст,

1 атм=10,33 м в. ст,