Комп'ютерна диференційна діагностика порушень вуглеводного обміну на основі однокомпартментних математичних моделей

У другому розділі проводилося узагальнення функціонально-феноменологічної моделі перорального глюкозотолерантного тесту на випадок довільного надходження екзогенної глюкози, зокрема, на випадок стандартного внутрішньовенного тесту толерантності до глюкози (рис. 1-3).

Для опису осциляцій, характерних для глікемічної кривої, було використано диференційно-різницеве рівняння з запізнілим аргументом. У такому рівнянні швидкість зникнення глюкози з крові буде визначатися не поточним значенням концентрації глюкози, а деяким попереднім її значенням. Запізнювання в реакції системи регуляції рівня глюкози в крові викликає “перерегуляцію”, тобто осциляції.

З аналізу відомих фізіологічних даних випливає, що в нормі регуляція відхилення рівня глюкози від базального значення здійснюється нейро-гормонально. Нервова регуляція діє практично миттєво, а гормональна – із деяким запізненням, необхідним для поширення гормону по кровоносній системі. Тому при математичному описі зручно виділити два окремих канали регуляції. Перший з них, базальний, F (t) діє постійно і є чисто гормональним. Керуючим сигналом у ньому є відхилення поточного рівня глюкози g (t) від його базального значення gБ, тобто неузгодженість y (t), що діє з деяким запізненням . Другий, екстрений, канал зворотного негативного зв'язку є нейро-гормональним і включається в моменти надходження в кров екзогенної глюкози. Керуючим сигналом у цьому каналі зв'язку служить інтенсивність її надходження f (t). При перевищенні ниркового порогу g* (мг%) виникає глюкозурія, тобто нирки починають пропускати глюкозу в мочу.

  (1)

де  – коефіцієнт інтенсивності екстреної регуляції;

    (хв-1) і   (хв) – коефіцієнт інтенсивності і час запізнення в гіпоглікемічній регуляції, здійснюваної інсуліном при гіперглікемічних відхиленнях рівня глюкози в крові від базального значення,   (хв-1) і   (хв) – коефіцієнти інтенсивності і час запізнення в гіперглікемічній регуляції при гіпоглікемічних відхиленнях, здійснюваної контррегуляторними гормонами в процесах глікогенолізу і глюконеогенезу,   (хв-1) – параметр, що характеризує інтенсивність глюкозурії;  

Як випливає з фізіологічних даних у загальному випадку запізнення не є постійною величиною. При різкому збільшенні концентрації глюкози в крові до високих значень, можливо, “підключаються” додаткові зворотні зв'язки, що знижують її рівень. При зниженні рівня глюкози нижче деякого граничного значення вони “виключаються”. Об'єднати дію цих зворотних зв'язків в один можна за допомогою введення перемінного часу запізнення його дії. Ця залежність добре описується емпірично підібраною формулою:

 ,

 

де   (хв),   ((мг%) -1),   ((мг%) -1),   (мг%) – числові параметри.

У кожний момент часу t рівняння (1) з початковою функцією зводиться до елементарної задачі знаходження невідомого значення функції y (t) по її відомій похідній методом покрокового інтегрування.

Запропонована математична модель динаміки рівня глюкози в крові людини вперше відтворює динаміку глікемії в капілярній крові повністю. Модель є універсальною в плані зовнішнього глюкозного навантаження.

У третьому розділі проводилась деталізація моделі динаміки глікемії в крові і виділення вузлу, зв'язаного з інсуліном. У якості першого кроку побудовано модель ізольованих -клітин, оскільки процеси впливу глюкозного стимулу на секрецію інсуліну добре вивчені в експериментах in vitro (рис. 4).

При побудові такої моделі зміну внутрішньоклітинного запасу готового інсуліну в острівці I (t) було подано у виді суми двох окремих складових, призначених для базальної і надлишкової витрат інсуліну. Інтенсивність надлишкової витрати інсуліну залежить від розміру його внутрішньоклітинного запасу й управляється глікемічним сигналом R (t). Розмір цієї складової запасу в нормі поповнюється зі значним запізненням  , необхідним для синтезу інсуліну. Як випливає з фізіологічних даних, керуючий глікемічний сигнал є сумою двох взаємозалежних чинників: темпу зростання концентрації глюкози в крові і загальної кількості надлишкової глюкози. Темп зростання концентрації глюкози визначає першу – гостру – фазу секреції інсуліну. Другий чинник керуючого впливу на надлишкову секрецію інсуліну фізіологічно адекватно вдається описати інтегральною функцією глюкози з післядією, що слабшає, і запізненням.

 , (2)

де   y (мг%) – кількість надлишкової глюкози в крові; a (мкОд (млхвмг%) -1), 1 ((мг%) -1), 1 ((мг% хв) -2), 1 (мин-1) – числові параметри;  (хв) – час запізнення, що визначається емпірично підібраною формулою  , де   (хв),  (мг% -1) – числові параметри.

Вирішивши рівняння (2) відносно I (t), отримали:

 

 

де   (мкОд (островок) -1) – початковий запас інсуліну в -клітині.

Швидкість надходження інсуліну з острівця в кров, тобто швидкість секреції, подана надлишковою і базальною складовими секреції:

 ,

де c (мкОд (хвостровок) -1) – швидкість базальної секреції інсуліну.

У живому організмі на концентрацію інсуліну i (t) в крові, крім підшлункової залози, впливають також печінка, нирки і нервова система. Печінка і нирки зменшують концентрацію активного інсуліну в крові, оскільки в цих органах відбувається його інактивація. Можливо через наявність нервової регуляції в живому організмі діє місцевий зворотний негативний зв'язок між концентрацією інсуліну в крові й інтенсивністю його секреції -клітинами. Цей зворотний зв'язок діє з деяким запізненням, що зв'язано з часом поширення інсуліну по кровоносній системі. Прийнято цей час запізнення рівним одній хвилині.