Лекція 3. Границя функції

Предмет:

Математика

Тип роботи:

Лекція

К-сть сторінок:

Мова:

Українська

Оцінка:

Лекція 3. Границя функції

План

1. Поняття числової послідовності та її границі.

2. Границя функції. Основні поняття та означення.

3. Обчислення границі функції.

1. Поняття числової послідовності та її границі

Якщо задана закономірність, згідно з якою кожному натуральному числу 1, 2, 3,…, відповідає деяке дійсне число, то говорять, що задана числова послідовність.

Послідовність можна розглядати як функцію, областю визначення якої є множина натуральних чисел. Послідовність визначається формулою, тобто законом, згідно з яким установлюється спосіб відповідності заданих чисел послідовним натуральним числам. Послідовність із загальним членом позначається або просто .

Наприклад, , де

Приклад 1. Написати формулу загального члена послідовності .

Розв’язання. Проаналізуємо чисельники. Ці числа є непарними, тому х можна записати у вигляді . Аналогічно знаменники – парні числа, ому вони будуть записані у вигляді .

Таким чином маємо послідовність

Означення. Число а називається границею послідовності , якщо для кожного як завгодно малого додатного числа знайдеться таке натуральне число , що при всіх виконується нерівність: .

Той факт, що число а є границею послідовності записується у вигляді: або , якщо .

Зауважимо, що нерівність рівносильна нерівностям: або .

Це означає, що число належить інтервалу ). Такий інтервал (див.рис.1) називається - околом точки а.

Рис.1

Означення границі послідовності можна перефразувати наступним чином, надавши йому геометричну наочність: число а називається границею послідовності , якщо в будь-який - окіл числа а попадуть всі члени послідовності, починаючи з деякого номера, яким би вузьким цей окіл не був. Поза - околом може бути скінченне число членів даної послідовності.

Дійсно, якщо при , то для будь-якого знайдеться таке число N, що всі члени послідовності з номерами знаходиться в -околі числа а, поза цим околом можуть знаходитьсь тільки перших N членів послідовності.

Послідовність називається монотонно зростаючою (спадною), якщо .

Послідовність називається обмеженою зверху, якщо існує число m, таке, що при всіх n=1,2,3,…. Виконується нерівність

Послідовність називається обмеженою знизу, якщо існує число m, таке, що при всіх n=1,2,3,…. Виконується нерівність .

Послідовність не обмежена зверху або знизу, називається необмеженою.

Послідовність, що має границю, називається збіжною, а яка не має границі, називається розбіжною.

Розглянемо властивості збіжних послідовностей на прикладі послідовності .

ВЛАСТИВОСТІ ЗБІЖНИХ ПОСЛІДОВНОСТЕЙ

1.Границя сталої дорівнює цій сталій.

2.Якщо послідовність має границю, то ця границя єдина.

3.Послідовність, яка має границю, є обмеженою.

4.Нехай . Тоді знайдеться число N, таке, що при будь-якому справджуватиметься нерівність .

5.Нехай . Якщо послідовність при всіх n задовільняє нерівність , то .

6.Про «охоплену» послідовність або теорема «про двох міліціонерів».

Нехай виконується нерівність . Якщо послідовність і збіжні, причому і , то послідовність також буде збіжною і .

7.Будь-яка монотонна обмежена послідовність має границю (теорема Больцано-Вейєрштрасса).

Послідовність називається нескінченно малою, якщо .

Послідовність називається нескінченно великою, якщо .

Сума скінченого числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

Добуток нескінченно малої послідовності і обмеженої є нескінченно мала послідовність.

Якщо нескінченно мала послідовність і , то послідовність є нескінченно великою. Якщо нескінченно велика послідовність, то послідовність є нескінченно малою послідовністю.

ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ ПРО ГРАНИЦІ ПОСЛІДОВНОСТІ

Для того, щоб послідовність мала границю а, необхідно і достатньо, щоб , де - нескінченно мала послідовність.

Якщо послідовності і збіжні, причому , і , то:

1) ;

3) ;

4) , якщо

Приклад 2. Довести, що послідовність має .

Розв’язання. Нехай, наприклад, . Тоді нерівність або . Тобто виконується при . Аналогічно для маємо при .

Для кожного нерівність або виконується при .

Отже, при будь-якому існує такий номер (або рівний цілій частині ), що для всіх (при для , при для і т. д.) виконується нерівність , а це означає, що .

Приклад 3. Довести, що послідовність з загальним членом має границю, рівну 2.

Розв’язання. Виберемо довільно додатне число і покажемо, що для нього можна підібрати таке число N, що для всіх значень номера n більшого цього числа N, буде виконуватися нерівність:

Перетворимо вираз. Одержуємо . Звідси слідує, що. Таким чином, якщо номер n більше, ніж , то нерівність

Нехай , . Отже, для всіх номерів більших, ніж 199 при , буде виконуватися нерівність . Починаючи з 200 члену всі члени послідовності будуть знаходитись в інтервалі (1,995;2,005). Таким чином, .

Методи пошуку границь числових послідовностей цілком співпадають з методами пошуку границь функцій, що будуть розглянуті в наступних пунктах.

2. Границя функції. Основні поняття та означення

Побудуємо графік функції (рис. 2). Якщо х наближається до 1, то зна¬чення у наближається до 2.

Рис.2

Говорять, що границя функції при х, що наближається до 1, дорівнює 2 і запи¬сується: .

Розглянемо другий приклад. Побудуємо графік функції і розглянемо