+3 8(066) 185-39-18
fПредмет:
Тип роботи:
Лекція
К-сть сторінок:
14
Мова:
Українська
а функція g(x) має границю, яка дорівнює b, тоді справедливі такі рівності:
4.Границя суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) їхніх границь, при умові, що границі доданків існують.
5.Границя добутку двох функцій дорівнює добутку границь цих функцій
6. Границя частки двох функцій дорівнює частці границь цих функцій, якщо границі чисельника і знаменника існують і границя знаменника не дорівнює нулю
7. .
8. Якщо , то .
9. Якщо і , то . Це так звана теорема «про двох міліціонерів».
10. Перша визначена границя . (7)
11. Друга визначна границя . (8)
Сформульовані теореми використовуються при знаходженні гра¬ниць функцій.
Нескінченно малі та нескінченно великі функції. Поняття еквівалентних функцій. Основні еквівалентності
Функція (x) при називається нескінченно малою, якщо її границя дорівнює нулю .
Властивості нескінченно малих функцій:
1. Для того щоб функція при мала границю А, необхідно і достатньо, щоб
можна було записати у вигляді:
де – нескінченно мала функція при .
2. Сума скінченої кількості нескінченно малих функцій і є нескінченно малою функцією.
3. Добуток нескінченно малої при функції на функцію, обмежену в околі точки , є нескінченно малою функцією.
4. Добуток двох нескінченно малих функцій при є нескінченно малою функцією.
Нехай функції є нескінченно малими при .
Дві нескінченно малі функції і називаються еквівалентними, якщо :
Еквівалентність позначають так .
Із першої визначної границі .
Функція (x) при називається нескінченно великою, якщо її границя дорівнює нескінченності .
Властивості нескінченно великих функцій:
1.Якщо функція є нескінченно великою, то вона є необмеженою. Обернене твердження не є правильним, тобто необмежена функція не обов’язково є нескінченно великою.
2.Дві нескінченно великі функції і є еквівалентними при , якщо
3.Поліном степеня при є еквівалентним своєму члену з найбільшим степенем, або .
4.Якщо функція при є нескінченно малою, то функція є нескінченно великою і навпаки.
5.Наведемо основні еквівалентності, які є наслідками першої та другої визначних границь
3. Обчислення границі функції
За допомогою розглянутих властивостей можна знаходити деякі границі.
Приклад 1. Знайдіть .
Розв'язання
Відповідь: 3.
Приклад 2. Знайдіть .
Розв'язання
Відповідь:2.
Цей самий результат можна дістати, підставляючи у вираз граничне значення х. Тому сформулюємо перше правило обчислення границь: підставити у вираз граничне значення х. Якщо отримане скінченне число, границя знайдена.
Зауваження. Не завжди можна під знак границі підставляти граничне значення аргументу. Такі функції, для яких це можна робити, називаються неперервними і будуть розглянуті далі.
Розкриття невизначеностей
Приклад 3. Знайти границю .
Розв’язання
Підставляючи х = 2 у вираз, дістанемо . Таку ситуацію називають невизначеністю, оскільки після знаходження границь чисельника і знаменника обидві дорівнюють нулю, а границя усього виразу може бути як конкретним числом, так і нескінченністю, або взагалі може не існувати. Знайти подібну границю означає розкрити невизначеність. Є інші види невизначеностей: тощо.
Друге правило обчислення границь:
У виразі під знаком границі на основі елементарних перетворень, формул скороченого множення, виносячи при можливості спільний множник за дужки, можна виконувати будь-які спрощення, що не суперечать правилам алгебри.
Повернемось до прикладу.
Розкладемо чисельник на множники, а в знаменнику винесемо за дужки -1.
Відповідь: .
Зауваження. У фігурних дужках після умови вказують вид невизначеності.
Приклад 4. Знайдіть .
Розв'язання
В цьому прикладі безпосередньо скористатися теоремами про границі не можна, бо границя знаменника дорівнює нулю. Оскіль¬ки в означенні границі |х – а| > 0, тобто |х — а| 0, то маємо
Відповідь: 6.
Приклад 5. Знайдіть
Розв'язання.
Винесемо в знаменнику дробу спільний множник х за дужки і скоротимо дріб
Відповідь: – 1.
У більш складних випадках пошуку границь для функцій виду якщо у чисельнику і знаменнику виділяють множник , поки не позбуваються невизначеності.
Приклад 6. Знайти границю .
Розв’язання.
Як бачимо в знаменнику маємо формулу скороченого множення, а саме різницю кубів .
Розкладемо чисельник на множники. Для цього вираз, який знаходиться в чисельнику поділимо під кутом на .
Відповідь: .
Третє правило обчислення границь:
Якщо дріб безпосередньо розкласти на множники і скоротити не можна, то в цьому випадку, розкриваючи невизначеність типу , слід чисельник і знаменник дробу помножити на вираз, спряжений до знаменника (або ж чисельника), а потім скоротити дріб.
Такі випадки трапляються тоді, коли ми маємо справу із коренями.
Приклад 7. Знайдіть .
Розв’язання. Домножимо чисельник і знаменник дробу на вираз спряжений до знаменника, а саме на суму .
Відповідь: .
Приклад 8. Знайти границю .
Розв’язання. Домножимо чисельник і знаменник дробу на вираз спряжений до чисельника, а саме на суму .
Відповідь: .
Розглянемо приклад на застосування першої визначної границі.
Правило четверте: застосування першої визначної границі.
Приклад 9. Знайти .
Розв'язання
Відповідь: 7.
Приклад 10. Знайти границю .
Розв’язання.
Використаємо відому тригонометричну формулу і першу еквівалентність
Відповідь: 8.
П’яте правило обчислення границь:
У виразі під знаком границі замість будь-якої функції можна підставляти еквівалентну їй іншу функцію.
Приклад 11. Знайти границю .
Розв’язання.
Використаємо еквівалентності 4 і 8:
Відповідь: 8.
Розкриття невизначеностей
Розглянемо границю функції .
Шосте правило обчислення граиць
Приклад 12. Знайти границю .
Розв’язання.
Використаємо наведену узагальнену формулу, врахувавши, що:
Відповідь: .
Приклад 13. Знайти границю .
Розв’язання.
Використаємо наведену узагальнену формулу, врахувавши, що степінь чисельника менший ніж степінь знаменника , тому
Відповідь:
Приклад 14. Знайти границю .
Розв’язання.
Домножимо і поділимо розглянутий вираз на :
Відповідь: 2.
Тут враховано еквівалентності , .
Сьоме правило:
У випадку розкриття невизначеності використовують другу визначну границю.
Приклад 15. Знайти границю .
Розв’язання.
Відповідь: .
Завдання для самостійного розв’язання
1. Знайдіть границі:
а) ; б) ; в) ; г) .
д) ; е) ; є) ; ж) .
з) ; і) ; . й) .
к) ;л) ; м) .
н) о) .
п) ; р) ; с) ; т) .
Інші тренувальні завдання
ст.23-25
Паламарчук, В. О.
Вступ до математичного аналізу : навчальний посібник / В. О. Паламарчук, А. І. Степанов. – Краматорськ : ДДМА, 2009. – 56