Лекція 6. Диференціальні рівняння

 

 

1. Поняття диференціального рівняння. Основні поняття та означення.

2. Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними.

3. Однорідні диференціальні рівняння 1-го порядку.

4. Лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку.

5. Лінійні однорідні диференціальні рівняння 2-го порядку із сталими коефіцієнтами.

 

 

Ряд задач, що розгортаються в часі, описуються диференціальними рівняннями.

Закони природи часто описують певні співвідношення між величинами, що характеризують процес швидкістю та прискоренням зміни цих величин. Математично ці закони записують як співвідношення між функціями та їх похідними. Якщо функція, яка описує процес невідома, то отримуємо рівняння, яке називають диференціальним. Отже, вивчення таких процесів може бути замінено дослідженням розв’язків диференціальних рівнянь.

Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, у яке входять незалежна змінна х, функція від цієї змінної y та похідні різних порядків невідомої функції

F(x,y,y ,y ,…)=0 (1)

Найвищий порядок похідної при цьому називається порядком рівняння диференціального рівняння.

Приклади

1. Диференціальне рівняння другого порядку y+2y -3y=x2+1 .

2. Диференціальне рівняння третього порядку y =cos(x).

Розв’язком диференціального рівняння називається функція у = (х) яка при підстановці в диференціальне рівняння замість шуканої функції перетворює його в тотожність.

Графік функції у = (х) називається інтегральною кривою. Процес знаходження розв’язку називається інтегруванням диференціального рівняння.

Приклад: ДР у = 2у має розв’язок у = е2х.

Дійсно, підставляючи у = е2х 2, у = е2х в ДР отримаємо тотожність е2х 2 2 е2х.

Як правило, ДР має нескінченну множину розв’язків.

Загальним розв’язком (або загальним інтегралом) диференціального рівняння називається такий розв’язок, до якого входить стільки незалежних довільних сталих, який порядок рівняння. Так, загальний розв’язок диференціального рівняння першого порядку має одну довільну сталу

Частковим розв’язком диференціального рівняння називається розв’язок, знайдений із загального при різних числових значеннях аргументу і функції (початкові умови). Задачу знаходження такого розв’язку називають задачею Коші.

Графік частинного розв’язку диференціального рівняння називається інтегральною кривою.

Загальному розв’язку відповідає сукупність (сім’я) всіх інтегральних кривих.

Як приклад на рисунку 1 зображено розв’язки диференціального рівняння.

Рис.1

Кожен із графіків відповідає частинному розв’язку диференціального рівняння.

Приклади

1. Розв’язками диференціального рівняня першого порядку y =3x2 є функції y=x3, y=x3+10, y=x3-3.5,…

Отже, загальний розв’язок цього рівняння має вигляд y=x3+C , де C - довільна стала.

2. Загальним розв’язком рівняння другого порядку y=sin(x) є сім’я функцій (кривих) y= -sin(x)+C1x+C2, де C1 та C2 - довільні сталі. Частковими ж розв’язками є, наприклад, функції y= -sin(x)+10, y= sin(x)+2x+1 тощо.

 

 

Звичайним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння, у яке входить змінна x, функція y та перша похідна y (x):

 Це диференціальне рівняння не розв’язане відносно похідної. Якщо рівняння (2) можна розв’язати відносно похідної, то рівняння (2) представляємо у вигляді

Це рівняння називається диференціальним рівнянням першого порядку, що розв’язане відносно похідної. 

Його можна записати у вигляді або.

Розглянемо деякі способи розв’язування таких рівнянь. 

Означення. Диференціальне рівняння виду називається диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними.

або ж його можна подати у вигляді

Щоб розв’язати це рівняння потрібно спочатку відокремити змінні:

 А потім проінтегрувати обидві частини рівності:

Приклад 1. Розв’язати диференціальне рівняння .

Розв’язання. Виконуємо ділення на вираз , розділивши тим самим змінні:

Почленно інтегруємо: застосовуючи послідовно заміни 1-x2=t (звідки -2xdx=dt; xdx=(-dt)/2) та 

1-y2=u (звідки –2ydy=du; ydy=(-du)/2):

Отримано загальний розв’язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння, який є неявною функцією.

Відповідь.

Приклад 2. Розв'язати диференціальне рівняння та знайти його частковий розв'язок при умові .

Розв’язання. Інтегруючи знаходимо загальний розв’язок рівняння

 Для одержання більш простого за формою загального розв’язку сталу в правій частині представимо у вигляді , тоді . Підставивши в загальний розв'язок значення , отримаємо , звідки . Отже, частковий розв’язок рівняння .

Відповідь.

Приклад 3. Розв’язати диференціальне рівняння y =7x+y .

Розв’язання. Розділяємо змінні:

 Інтегруємо праву та ліву частини:

 Позначивши сталу lnC (тобто, сталу, яка може набувати довільних значеннь) через C (ця нова константа також може приймати довільні значення), матимемо:

-7y=7x+C .

Отже, загальним розв’язком диференціального рівняння є неявна функція (що залажить від сталої C)

Відповідь. 7y+7x=C .

Приклад 4. Розв’язати диференціальне рівняння .

Розв’язання. Відокремимо змінні arctgy=arctgx+C .

Отримано загальний розв’язок у неявому вигляді. Перейдемо до розв’язку у вигляді явної функції. Враховуючи той факт, що як стала C, так і стала arctgC , може набувати довільних значень, отримуємо:

arctgy=arctgx+arctgC.

Знайшовши тангенс від суми аргументів, одержуємо: (загальний розв’язок, записаний у явному вигляді).

Відповідь.

 

 

Функція називається однорідною функцією n-го порядку щодо змінних х і у, якщо при будь-якому t справедлива тотожність

Приклад 1. - однорідна функція першого порядку, тому що