Лекція 6. Диференціальні рівняння

Приклад 3. - однорідна функція нульового порядку, тому що

Однорідне диференціальне рівняння має вигляд: Для розв’язання таких рівнянь робиться заміна, тобто ми від функції переходимо до функції. Очевидно, що Диференціюємо цю рівність по , вважаючи функцією залежною від ,

Підставляємо у рівняння і одержуємо: яке очевидно є рівнянням з відокремленими змінними.

Однорідні рівняння можуть бути записані не лише у вигляді , але й можуть мати вигляд, де і - однорідні функції одного й того ж степеня. Для того, щоб розв’язати однорідне рівняння, необхідно провести заміну, в результаті якої отримаємо рівняння зі відокремлюваними змінними.

Приклад 4. Розв’язати диференціальне рівняння .

Розв’язання. 

Робимо заміну або Відповідь: 

Приклад 5. Розв’язати рівняння . 

Розв’язок. Дане рівняння однорідне, оскільки та є однорідними функціями першого ступеня. Проведемо заміну: . Тоді . Підставивши та в задане рівняння, отримаємо ; 

Розв’яжемо це рівняння зі відокремлюваними змінними, що розділяються:

Повернувшись до вихідних змінних , отримаємо .

Крім того розв’язком є , що було загублене при діленні рівняння на .

Відповідь: ,

 Приклад 6. Розв’язати диференціальне рівняння .

Розв’язання. 

Робимо заміну, тоді Відповідь: .

Приклад 7. Розв’язати диференціальне рівняння .

Розв’язання. 

Це рівняння можна записати у вигляді: і тут вже, очевидно, що воно є однорідним диференціальним рівнянням. Виконаємо заміну , отримаємо:

Ми отримали рівняння з відокремленими змінними:

Відповідь:

Приклад 8. Розв'язати задачу Коші , .

Розв’язання. 

 - загальний розв'язок.

Знайдемо частинний розв'язок, який задовольняє початковій умові : , .

Відповідь: - розв'язок задачі Коші.

 

 

Диференціальне рівняння першого порядку називається лінійним, якщо його можна представити у вигляді

Тут - невідомі функції від х, в частинному випадку можуть бути сталими величинами.

Так, рівняння являється лінійним, а рівняння лінійним не являється. Такі рівняння розв’язуються за допомогою спеціального прийому, в основі якого лежить представлення функції у у вигляді добутку двох інших функцій:

де і - невідомі функції від х, причому одну з них, наприклад (х), можна вибрати довільно. Функція (х) визначається в залежності від вибору функції (х).

Значить, якщо , то і підстановка і в рівняння дає або. Функції і невідомі, визначимо одну із них, наприклад , із умови

Враховуючи це, рівняння запишемо у вигляді Знайдемо функцію . Одержимо: Помноживши обидві частини на , запишемо Проінтегрувавши, маємо

 Із загального розв’язку вибираємо один частинний. Наприклад, покладемо С=0. Отримуємо: , звідки .

Підставимо знайдене значення в рівняння

 Отже, загальний розв’язок лінійного рівняння

 Приклад. Знайти загальний розв’язок рівняння

Розв’язання. 

Рівняння лінійне, так як у і входять у нього в першому степені і нема члена з добутком .

Допустимо тоді . Рівняння приймає вигляд або .

Знайдемо тепер функцію яка задовольняє умову Можливо було вибрати і іншу умову, наприклад, прирівняти вираз в круглих дужках іншому постійному числу.

Розділяємо змінні або .

В результаті інтегрування отримаємо. Із множини функцій виберемо одну. Допустимо С=1; тоді підставимо цю функцію у рівняння, маємо або

  Отже, , тоді Відповідь:

 

 

Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку із сталими коефіцієнтами називається рівняння виду, де деякі дійсні числа. Якщо , то диференціальне рівняння називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку із сталими коефіцієнтами Щоб визначити загальний розв’язок рівняння (11), складемо характеристичне рівняння, яке отримаємо поклавши.

Загальний розв’язок диференціального рівняння (11) залежить від коренів характеристичного рівняння (12), яке фактично є квадратним рівнянням відносно змінної .

Маємо три випадки значень і (в залежності від дискримінанту квадратного рівняння ).

1. − корені характеристичного рівняння дійсні і різні . Тоді загальний розв’язок диференціального рівняння (11) приймає вигляд:

 2. − корені характеристичного рівняння дійсні і рівні . Тоді загальний розв’язок диференціального рівняння (11) приймає вигляд:

3. − корені характеристичного рівняння комплексно-спряжені . Тоді загальний розв’язок диференціального рівняння (11) приймає вигляд:

Зауваження. Слід мати на увазі, що , а .

Складемо таблицю-узагальнення.

Таблиця

Розв’язки однорідних диференціальних рівнянь 2-го порядку із сталими коефіцієнтами

№

п/пКорені характеристичного рівнянняЧастинні розв’язки диференціального рівняння (запропоновані Ейлером)Загальний розв’язок диференціального рівняння

1

2

3

 Приклад 1. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння .

Розв’язання.

Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені. Корені характеристичного рівняння є дійсними і різними, тому , − часткові розв’язки, − загальний розв’язок.

Відповідь: .

Приклад 2. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння .

Розв’язання.

Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені або ж має дійсні корені . Корені характеристичного рівняння є дійсними і рівними, тому , − часткові розв’язки, − загальний розв’язок.

Відповідь: .

Приклад 3. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння .

Розв’язання.

Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені. Корені характеристичного рівняння є комплексно-спряженими, тому , − часткові розв’язки, − загальний розв’язок.

Відповідь: .

Приклад 4. Знайти частковий розв’язок диференціального рівняння для початкової умови .

Розв’язання.

Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені або ж має дійсні корені .

Корені характеристичного рівняння є дійсними і рівними, тому , − часткові розв’язки, − загальний розв’язок. Тепер підставивши початкові умови у вирази для та , отримаємо або звідси .

Підставивши ці значення в загальний розв’язок, знайдемо частковий розв'язок диференціального рівняння при заданих початкових умовах .

Відповідь: .

Завдання для самостійного розв’язання

1.Знайти загальні розв’язки диференціальних рівнянь з відокремлюваними змінними:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

2.Знайти частинні розв’язки диференціальних рівнянь з відокремлюваними змінними:

а) при ; б) , при ;

в) , при ; г) , при ;

д) , при ; е) , при .

3.Розв’язати загальний розв’язок однорідних диференціальних рівнянь:

а) .

б) .

в) .

4.Знайти частинні розв’язки однорідних диференціальних рівнянь:

а) , при ;

б) , при ;

в) , при .

5. Знайти загальний розв’язок лінійних диференціальних рівнянь

а) ;б) ;

в) ;г) 

6. Знайти загальний розв’язок лінійних однорідних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами:

а) ;б) ;

в) ; г) ;

д) е)

є) ж)

з) и)

і) й)

7. Знайти частинні розв’язки лінійних однорідних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами:

а) , і при

б) , і при

в) , і при

г) , і при

д) , і при

е) , і при

з) , і при