Математичні моделі та методи комп'ютерного моделювання процесу екстракції цукру в похилому дифузійному апараті

На підставі проведеного аналізу сучасного стану проблеми сформульовано мету і задачі дисертаційної роботи.

У другому розділі розроблено кореляційні математичні моделі процесу екстракції цукру в похилому дифузійному апараті.

Було прийнято, що основними параметрами, які характеризують процес екстракції в ПДА є: вхідні:   – витрати сировини;   – витрати дифузійного соку;   – температура екстрагента; режимні:   – температура в першій зоні ПДА;   – температура в другій зоні ПДА;   – температура в третій зоні ПДА;   – температура в четвертій зоні ПДА;   – еквівалентна довжина 100 г стружки;   – співвідношення витрат сировини; вихідний:   – втрати цукру в жомі.

В часі * кожний із вибраних параметрів процесу екстракції цукру з бурякової стружки залежать від зовнішніх збурень, тому всі ці параметри розглянуто як випадкові процеси:

 

 , (1)

 

реалізаціями яких є дискретні випадкові ряди,

 

  (2)

 

що обумовлюється дискретним характером замірів процесів через кожні 15 хвилин.

Відрізки реалізацій частини дискретних випадкових процесів із множини (2), сформовані з врахуванням того, що t=/15 i t=0, 1, ... N у вигляді

 

 (3)

Де  (4)

– тренди дискретних випадкових процесів

 

  а

  (5)

– їх центровані реалізації.

 

Тренди вказаних випадкових процесів мають дві складових – постійну та періодичну. На рис. 1 для прикладу показана реалізація випадкового процесу   та його тренд  .

Застосовуючи метод найменших квадратів та програму Mathcad 7 PRO для реалізацій, відрізок однієї із яких крапками зображений на рис. 1, встановлено, що тренди (на рис. 1 суцільна лінія) описуються рівняннями зміщених синусоїд, наприклад, для   це –

 

 (6)

 

Синтез кореляційних моделей стаціонарних випадкових процесів здійснювався по їх центрованим реалізаціям з використанням співвідношення

 

 , (7)

 

в класі функцій:

 

 , (8)

 

З застосуванням методу найменших квадратів до кожного поля точок  , обчислених за співвідношенням (7), двічі – один раз для пошуку оптимальних значень коефіцієнтів вибраної на класі (8) конкретної моделі  , шляхом розв’язання системи нормальних рівнянь Гауса, складених відносно коефіцієнтів цієї моделі, а другий раз для вибору оптимальної на класі (8) моделі   шляхом визначення мінімуму суми квадратів відхилень значень автокореляційної функції, обчислених за формулою (7)   та отриманих за допомогою кожної із класу (8) кореляційної моделі  . Для центрованих реалізацій   отриманих із випадкових процесів   з використанням вищенаведених трендів (6) це –

 

  (9)

 

Приклад однієї із кореляційних моделей, заданих множиною (9) наведено на рис. 2.

Статистичні оцінки   взаємних кореляційних функцій   процесів  , які задають причини та  , які характеризують наслідки, обчислені за відомою формулою 

 

  (10)

 

На рис. 3, як приклад, представлено графік кореляційної функції  , що характеризує вплив процесу   на процес .

В результаті взаємного кореляційного аналізу процесу екстракції цукру із бурякової стружки встановлено, що структура регресійної моделі процесу екстракції цукру із бурякової стружки в ПДА має вигляд –

 

 , (11)

 

а її складові:

регресійні –

 

  (12)

 

авторегресійні –

 (13)

 (14)

 

У третьому розділі здійснена ідентифікація регресійно-авторегресійних моделей (11), (12), (13), (14) з використанням матричних рівнянь Юла – Уокера

 

 , (15)

 

де  , (1*k) – матриця-стовбчик значень k коефіцієнтів для рівняння авторегресії;  , (1*k) – матриця-стовбчик значень k коефіцієнтів автокореляції;  , (k*k) – квадратна матриця Юла – Уокера.

Значення дисперсії   для рівнянь (11), (12) визначалось із співвідношення

 

 , (16)

 

де   – матриця-стрічка, яка отримується транспонуванням матриці-стовбчика  .

В результаті розрахунків за схемою Юла – Уокера отримано авторегресійні залежності із класу (13), (14) з конкретними числовими значеннями коефіцієнтів при невідомих, наприклад –

 

  (17)

 

з дисперсією білого шуму –

 

  (18)

 

А внаслідок застосування стандартної процедури метода найменших квадратів в її комп’ютерному варіанті Mathcad 7 PRO до реалізацій процесів   сформованих в другому розділі, отримано регресійні моделі

 

  (19)

 

та регресійно-авторегресійну модель

 

 , (20)

 

яка дозволяє врахувати як механізм формування стохастичних властивостей процесу екстракції, так і його інерційність, що має різний вплив на різні параметри.

У четвертому розділі розроблено варіант методу комп’ютерного моделювання, основна ідея якого полягає в наступному: якщо умовно розділити апарат на окремі ділянки рівної довжини, то можна припустити, що стружка проходить через кожну ділянку за рівні проміжки часу (“принцип t”). Цей час залежить від швидкості переміщення стружки, яка в свою чергу залежить від частоти обертання транспортуючих шнеків.