+3 8(066) 185-39-18
fПредмет:
Тип роботи:
Автореферат
К-сть сторінок:
16
Мова:
Українська
результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались: в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка на семінарі «Моделювання і оптимізація динамичних систем» (керівники проф. Наконечний О. Г., проф. Гаращенко Ф. Г.), в Інституті кібернетики на семінарі відділу оптимізації керованих процесів (керівник член-кореспондент НАНУ А. О. Чикрій), на міжнародній конференції «Моделювання і оптимізація складних систем» (Київ, 2001), на міжнародній конференції «Прогнозування і приняття рішень в умовах невизначеності» (Київ, 2001).
Публікації. За темою дисертації опубліковано 5 наукових робіт. З них 3 – у виданнях, затверджених ВАК України.
Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел (76 найменувань). Повний обсяг дисертації становить 115 сторінок, основний текст роботи викладен на 107 сторінках.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі визначається напрямок дисертаційного дослідження.
У першій главі приводиться огляд результатів, що безпосередньо стосуються теми дисертації, обгрунтована актуальність теми, сформульовані мета і задачі досліджень.
У главі 2 досліджуються задачі мінімаксного оцінювання розв'язків двоточкових крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь зі спеціальними обмеженнями на праві частини і похибки спостережень. Наведемо більш докладно постановку однієї із задач.
Нехай на відрізку спостерігається вектор-функція з значеннями із простору яка має вигляд
де – матриця розмірності елементи якої є неперервними функціями на відрізку – неперервний в середньоквадратичному випадковий векторний процес з середнім, що дорівнює нулю, і невідомою кореляційною функцією Припустимо також, що вектор-функція з n компонетами є розв'язком крайової задачі для рівняння
при деяких вектор-функції з неперервними на відрізку компонентами і векторах і Тут A=A (t) – матриця розмірності з неперервними на відрізку [0, T] елементами, і – деякі матриці розмірності і та рангу m і n-m відповідно.
В главі 3, яка складається з 5 параграфів, розглядається задача оцінювання станів систем, що описуються крайовими задачами Неймана для еліптичних рівнянь другого порядку в частинних похідних. За зашумленими спостереженнями розв'язків та їх конормальних похідних на скінченій системі поверхонь, які належать до розглядуваної області, і при спеціальних обмеженнях на праві частини рівнянь і крайові умови, а також на шуми в спостереженнях, знайдені мінімаксні оцінки для функціоналів від розв'язків цих крайових задач.
Знаходження мінімаксних оцінок зведено до розв'язання деяких задач спряження для систем інтегро-диференціальних рівнянь.
Далі використовуються наступні позначення: – пpостоpова змінна, яка змінюється в обмеженій відкpитій множині з ліпшицевою гpаницею ; – пpостіp Соболева поpядку 1 в області ; – пpостіp вимірних і майже всюди обмежених на множині функцій; – простір Соболева нецілого порядку s на (n-1) -мірному перерізі області ліпшицевою поверхнею
Теорема 3. 1. Мінімакснa оцінка функціоналу має вигляд
Альтернативне представлення для мінімаксних оцінок через розв'язки систем інтегро-диференціальних рівнянь спеціального виду, які можуть бути використані також і для оцінок розв'язків вихідних задач Неймана, знайдено в наведеній нижче теоремі.
Теорема 3. 3. Мінімаксна оцінка функціоналу (13) має вигляд
де функція визначається з розв'язку наступної задачі:
в
на
Ця задача має єдиний розв'язок.
В четвертій главі, яка складається з 5 параграфів, розглядаються задачі мінімаксного оцінювання станів систем, що описуються крайовими задачами для рівнянь еліптичного типу у випадку, коли обмеження на деякі з невідомих детермінованих функцій (наприклад, на праві частини рівнянь або на граничні умови) не задаются.
Наведемо, наприклад, постановку задачі мінімаксного оцінювання при відсутності інформації про граничні умови.
Нехай стан системи визначається як узагальнений розв'язок задачі Неймана
(34)
в (35)
на (36)
де – лінійний обмежений оператор, що відображає гільбертів простір H0 в
Вважається, що про елемент в граничній умові (36) нічого не відомо, а відносно функції f (x) в правій частині рівняння (34) відомо лише, що вона задовольняє нерівності
(37)
де функція q (x) неперервна на множині і не обертається там в нуль.
Припускається, що на поверхнях спостерігаються функції виду (8), (9), в яких випадкові поля і задовольняють умовам (10) і (12).
Позначимо через G0 множину функцій f, що задовольняють умові (37), а через G1 – множину випадкових функцій що задовольняють умовам (10) та (12).
Будемо оцінювати лінійний функціонал (13) при умовах (10) – (12) в класі оцінок вигляду (14).
Введемо також множину
де через позначений оператор, спряжений до B.
Оцінку яка визначається як розв'язок екстремальної задачі
(38)
назвемо мінімаксною оцінкою функціоналу (13), а величину
(39)
мінімаксною похибкою оцінювання.
Аналогічно формулюється задача мінімаксного оцінювання при відсутності інформації про праві частини рівнянь. Показано, що при деяких умовах на оператор B розв'язок цих задач зводиться до знаходження мінімумів квадратичних функціоналів на опуклих замкнених множинах в