Мiнiмаксне оцінювання за неповними даними функціоналів від розв'язків крайових задач

Альтернативні представлення для мінімаксних оцінок одержуються шляхом спеціальних перетворень в просторі станів (теореми 4. 3 і 4. 5).

 

В дисертаційній роботі досліджені задачі мінімаксного середньоквадратичного оцінювання лінійних функціоналів від розв'язків крайових задач для лінійних еліптичних рівнянь і лінійних звичайних диференціальних рівнянь при спеціальних обмеженнях на невідомі функції і лінійних інтегральних операторах спостереження, що використовують інформацію як про самі розв'язки, так і про їх похідні. При повністю відомих обмеженнях на невідомі функції одержані:

• системи звичайних диференціальних рівнянь і рівнянь еліптичного типу, через розв'язки яких виражаються відповідні мінімаксні середньоквадратичні оцінки [2], [3];

• вирази для мінімаксних середньоквадратичених похибок оцінювання.

При частково відомих обмеженнях на неповні дані еліптичних крайових задач, доведені теореми про загальний вигляд мінімаксних середньоквадратичних похибок і похибок оцінювання функціоналів від розв'язків цих задач [1].

Доведені твердження про зведення задач мінімаксного оцінювання до спеціальних задач оптимального керування рівняннями еліптичного типу з квадратичними критеріями якості.

 

 

1. Kovalyuk A., Nakonechny A. G., Podlipenko Yu. K. Minimax estimation of solutions to Neumann boundary value problems for elliptic equations under unknown boundary conditions. // Вiсник Київського унiверситету, сер. фiз. -мат. науки, 1, 2001, с. 207 – 212.

2. Ковалюк А. Метод прогонки в задачах мiнiмаксного оцiнювання розв'язкiв двоточкових крайових задач для звичайних диференцiальних рiвнянь. // Вiсник Київського унiверситету, сер. фiз. -мат. науки, 2, 2001, с. 263 – 268.

3. Ковалюк А., Наконечный А. Г., Подлипенко Ю. К. Минимаксное оценивание решений краевых задач Неймана для эллиптических уравнений в условиях неопределенности. // Проблемы управления и информатики. N6, 2001, c. 77-95.

4. Ковалюк А. Минимаксное оценивание решений краевых задач Неймана для эллиптических уравнений по наблюдениям на системе поверхностей. // Тезисы международной конференции «Прогнозирование и принятие решений в условиях неопределенности» Киев, 11-14 сентября 2001 г., с. 90 – 91.

5. Kovalyuk A. Minimax estimation of paramiter of one-dimensional boundary value problems described by equations of the second order. //Тезисы международной конференции «Моделирование и оптимизация сложных систем» Киев, 25 – 28 января 2001 г., с. 40 – 41.

 

 

Ковалюк А. Мінімаксне оцінювання за неповними даними функціоналів від розв'язків крайових задач -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01. 05. 04 – системний аналіз і теорія оптимальних рішень. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2002.

Дисертація присвячена питанням побудови мінімаксних середньоквадратичних оцінок для функціоналів від розв'язків крайових задач для еліптичених рівнянь другого порядку і звичайних диференціальних рівнянь по спостереженням, що використовують інформацію як про самі розв'язки, так і про їх похідні.

В процесі досліджень одержані наступні результати:

задачі мінімаксного оцінювання зведені до спеціальних задач оптимального керування спряженими рівняннями з квадратичними критеріями якості при обмеженнях і без обмежень на керування;

в обох випадках доведені теореми про загальний вигляд мінімаксних оцінок функціоналів і знайдені похибки оцінювання;

встановлено, що ці оцінки визначаються через розв'язки деяких систем диференціальних або інтегро-диференціальних рівнянь з частинними або звичайними похідними, для яких доведена їх однозначна розв'язність.

Розроблені в роботі методи оцінювання можуть бути використані при створенні систем автоматизованої обробки результатів експериментів в таких областях як: теплофізика, електродинаміка, гідроакустика і др.

Ключові слова: мінімаксні оцінки, крайова задача, спостереження, системи інтегро-диференціальних рівнянь.

 

 

Ковалюк А. Минимаксное оценивание по неполным данным функционалов от решений краевых задач -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01. 05. 04 -- системный анализ и теория оптимальных решений. -- Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2002.

Диссертация посвящена вопросам минимаксного оценивания решений обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных эллиптического типа по неполной информации.

Во второй главе по наблюдениям на промежутке   вектор-функции y (t) со значениями из пространства  , вида

 

найдены минимаксные оценки скалярного произведения   в классе линейных по наблюдениям оценок вида

 

где   – заданный вектор, принадлежащий пространству   ui (t), i=1, 2 – непрерывные вектор-функции на отрезках   и   соответственно, c – некоторая константа, H (t) – матрица размерности   элементы которой являются непрерывными функциями на отрезке   – непрерывный в среднем квадратическом случайный векторный процесс, со средним равным нулю и неизвестной корреляционной матрицей   размерности   а вектор-функция   со значениями из пространства   является решением краевой задачи для уравнения

 

при неизвестных вектор-функции f (t) с непрерывными на отрезке [0, T] компонентами и векторах f0 и f1, для которых заданы лишь некоторые ограничения, A=A (t) – матрица размерности   с непрерывными на отрезке [0, T] элементами, B0 и B1 – некоторые матрицы размерности   и   ранга m и n-m соответственно.

Оценка

 

для которой вектор-функции   и константа   находятся из условия:

 

называется минимаксной оценкой скалярного произведения   а величина   – погрешностью минимаксного оценивания. Здесь через G и V обозначены множества, которым принадлежат соответственно элемент   и корреляционная матрица   случайного векторного процесса  

Получены системы интегро-дифференциальных уравнений через решения которых выражаются функции   определяющие минимаксную оценку.

В третьей и четветой главе исследуются задачи минимаксного среднеквадратического оценивания линейных функционалов от решений краевых задач Неймана для эллиптических уравнений

  в     на   (1)

где A – эллиптический дифференциальный опеpатоp второго порядка, заданный в области   Функции   предполагается неизвестными и принадлежащими некоторым заданным множествам в соответсвующих функциональных пространствах.

Для оценивания решения задачи (1) используются зашумленные наблюдения, использующие информацию как о самих решениях, так и об их конормальных производных на некоторой системе поверхностей, принадлежащих области  

При полностью известных ограничениях на неизвестные функции получены:

• системы дифференциальных уравнений эллиптического типа, через которые выражаются минимаксные среднеквадратические оценки решений задач (1) ;

• выражения для минимаксных среднеквадратических ошибок оценивания.

При частично известных ограничениях на неполные данные эллиптических краевых задач, доказаны теоремы об общем виде минимаксных среднеквадратических оценок и ошибок оценивания функционалов от решений этих задач.

Доказаны утверждения о сведении задач минимаксного оценивания к специальным задачам оптимального управления уравнениями эллиптического типа с квадратичными критериями качества.

Ключевые слова: минимаксные оценки, наблюдения, краевая задача, системы интегро-дифференциальных уравнений.

 

 

A. Kovalyuk. Minimax estimation of functionals from solutions to boundary-value problems under incomplete data. – Manuscript.

Thesis for the Degree of Candidat of Physical and Mathematical Sciences in speciality 01. 05. 04 – systems analysis and theory of optimal decisions. Taras Shevchenko National University, Kyiv, 2002.

The thesis is devoted to the construction of minimax mean square estimates for functionals from solutions to boundary-value problems for elliptic partial differential equations of the second order and for systems of ordinary differential equations under observations using the information both of the solutions and of their derivatives.

We obtain the following results:

problems of minimax estimation are reduced to certain optimal control problems of adjoint equations with quadratic performance criterions in the cases when the restrictions on unknown data of the problem are given completely or partly;

in both cases we prove the theorems on a general form of minimax estimates of functionals from solutions of the cosidered equations and find the errors of estimation.

It is established that these estimates are determined via the solutions of some systems of differential or integro-differential equations with partial or ordinary derivatives. We also prove that these equations are uniquely solvable.

The methods obtained in the thesis can be applied for elaboration of automatized measurement data processing systems in such fields as electrodynamics, hydroacoustics, heat phenomena etc.

Keywords: minimax estimates, boundary value problem, observations, systems of integro-differential equations.