Лекція 4. Похідна і диференціал функції однієї змінної

 

 

1. Похідна функції. Таблиця похідних і правила диференціювання. 

2. Фізичний та геометричний зміст похідної.

3. Похідна складеної функції. Похідна другого порядку.

4. Диференціал функції та його застосування.

 

 

Поняття похідної – фундаментальне поняття математичного аналізу, за допомогою якого досліджують процеси і явища в природничих, соціальних і економічних науках. Вивчення різних процесів (механічного руху, хімічних реакцій, розширення рідини при нагрівання, значення електричного струму та _н..) проводять до необхідності обчислення швидкості зміни різних величин, тобто до поняття похідної. 

Нехай задано функцію на деякому проміжку. Візьмемо довільну внутрішню точку даного проміжку, надамо значенню довільного приросту (число може бути як додатним, так і від’ємним), але такого, щоб точка належала даному проміжку, тоді

1)Обчислимо в точці приріст функції:

2)Складемо відношення: .

3)Знайдемо границю цього відношення при умові, що , тобто:

Якщо дана границя існує, то її називають похідною функції в точці і позначають або (читається «еф штрих від або штрих»).

Похідною функції в точці називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу при умові, що приріст аргументу прямує до нуля, а границя існує, тобто

Функцію, яка має похідну в точці хо, називають диференційованою в цій точці. Функцію, яка має похідну в кожній точці деякого проміжку, називають диференційованою на цьому проміжку. Операція знаходження похідної називається диференціюванням.

Приклад 1. Знайдіть похідну функції в точці (за означенням).

Розв’язання.

Знайдемо приріст функції:

Знайдемо відношення приросту функції до приросту аргументу:

Знайдемо похідну даної функції в точці :

Визначення похідних функцій за означенням досить громіздке. На практиці часто виникає потреба знайти похідні функцій, які є сумою, добутком або часткою двох чи кількох диференційованих функцій. Очевидно, для виконання такого завдання корисно встановити відповідні правила.

 

 

1. Якщо функція і диференційовані в точці , то їхня сума диференційована в цій точці і або коротко говорять: похідна суми дорівнює сумі похідних.

Наслідки

а) Похідна різниці дорівнює різниці похідних.

б) Похідна суми декількох функцій дорівнює сумі похідних цих функцій, тобто .

Приклад 2. Знайдіть похідні функцій

а)

б)

в)

Розв’язання

а)

б) 

в)

2. Якщо функції і диференційовані в точці х, то їхній добуток також – диференційована функція в цій точці і , або коротко говорять: похідна добутку двох функцій дорівнює сумі добутків кожної функції на похідну другої функції.

Наслідки

а) Сталий множник винести за знак похідної:

б) Похідна добутку декількох множників дорівнює сумі добутків похідної кожного із них на всі останні, наприклад:

Приклад 3. Знайдіть похідні функцій:

а)

б)

в)

Розв’язання

а)

б)

в)

3. Якщо функція і диференційовані в точці х і , то функція диференційована в цій точці і

Приклад 4. Знайдіть похідну функцій

а) б)

Розв’язання

а)

б)

 

 

Фізичний зміст похідної

Якщо матеріальна точка рухається прямолінійно і її координата змінюється по закону , то швидкість її руху в момент часу дорівнює похідній :

 Приклади.

1. Точка рухається по закону s(t) = 1 + 2t2 (м). Знайдіть швидкість руху точки в момент часу t = 1 с.

Відповідь: 4 .

2. Знайдіть миттєву швидкість руху точки, якщо:

a) s(t) = 3t + 1; б) s(t) = 3 – 2t; в) s(t)= t2•, г)s(t) = 3t2.

Відповідь: а) 3; б) -2; в) 5t; г) 6t.

3. Точка рухається прямолінійно за законом s(t) = 2t3 - 3t (s — шлях в метрах, t — час в секундах). Обчисліть швидкість руху точки:

а) в момент часу t; б) в момент t = 2 с.

Відповідь: а) (6t2 – 3) ; б) 21 . 

4. Рух точки відбувається за законом s(t) = t2 – 4t + 6. У який момент часу швидкість руху дорівнює: а) 0; б) 10? 

Відповідь: а) t = 2; б) t = 7.

Геометричний зміст похідної

Значення похідної функції в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці з абсцисою :

  Рис.1

Розглянемо функцію рис.1. 

У точці проведено дотичну до кривої . Складемо рівняння дотичної АМ, знаючи координати точки дотику і рівняння кривої. 

Дотична – це пряма, а рівняння будь-якої прямої має вигляд: . 

Оскільки , тому рівняння дотичної має такий вигляд:

Знайдемо , виходячи з того, що дотична проходить через точку і тому її координати задовольняють рівнянню дотичної:

 , звідси .

Тепер підставимо значення в рівняння (2) дотичної і одержимо:

 Отже, рівняння дотичної до кривої в точці має вигляд:

 Приклад 5. Складіть рівняння