+3 8(066) 185-39-18
fПредмет:
Тип роботи:
Контрольна робота
К-сть сторінок:
9
Мова:
Українська
Поняття диференційованості функції в даній точці
Означення 1. Функція у = f (x) називається диференційованою в точці x0, якщо її приріст Δу в цій точці можна представити у вигляді Δу = A Δx + λ (Δx) Δx, де А деяке число, що не залежить від Δx, а λ (Δx) – функція аргументу Δx, яка є нескінченно малою при Δx 0, тобто .
Теорема 1. Для того, щоб функція у = f (x) була диференційованою в точці x0, необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці скінчену похідну.
Диференціал функції
Диференціал функції однієї змінної та його застосування:
Означення. Диференціалом функції називається величина, яка пропорційна приросту незалежної змінної і відрізняється від приросту функції на нескінченно малу функцію вищого порядку малості в порівнянні з приростом незалежної змінної.
Для нескінченно малого приросту Δх відношення буде нескінченно малим при Δх -> 0, тобто
Δy = k Δх+α Δх. (1)
У цьому випадку kΔх називається диференціалом функції, де k – коефіцієнт пропорційності.
Диференціал функції позначають символом dy, нескінченно малий приріст аргументу Δх – dx і називають диференціалом аргументу.
Доданок kΔх у формулі (1) називають головною лінійною частиною приросту функції (або головним лінійним членом приросту). Тому можна говорити: диференціал функції є головною лінійною частиною нескінченно малого приросту цієї функції, якщо k 0.
З означення диференціала випливає, що диференціал функції відрізняється від приросту цієї функції на величину вищого порядку малості в порівнянні з приростом незалежної змінної. Цією обставиною часто користуються в наближених обчисленнях.
Теорема. Якщо функція має диференціал, то ця функція має і похідну. З виразу (1) випливає, що
= k + a, а при Δх 0 , тобто k = у' – є похідна функції в точці.
Таким чином, диференціал функції дорівнює добутку похідної цієї функції на приріст незалежної змінної, тобто
dy = y'dx.
Диференціал незалежної змінної dx дорівнює приросту цієї незалежної змінної.
Геометричний зміст диференціала функції випливає з геометричного змісту похідної, розглянутого раніше.
Таким чином, диференціал функції у = f (x) в даній точці х дорівнює приросту ординати дотичної до графіка функції в цій точці, коли х одержує приріст Δх.
Фізичним значенням диференціала є фіктивний приріст шляху, який одержиться в припущенні, що, починаючи з деякого моменту часу, точка рухається рівномірно, зберігаючи набуту швидкість.
При умові, що функції, які розглядаються, мають похідні, основні властивості диференціала можуть бути записані у вигляді наступних виразів:
1. dC = 0, где С – const;
2. d (Cu) = Cdu;
3. d (u±v} = du ± dv;
4. d (u -v) = udv + vdu;
5. ;
6. df (u) = (u) du.
Диференціювання функції багатьох змінних:
При вивченні багатьох закономірностей доводиться зустрічатися з функціями від двох (і більше) незалежних змінних. Наприклад, площа S трикутника із стороною х і висотою у є функція двох змінних: S =f (х, у) (S = 1/2ху).
Якщо розглянути прямокутний паралелепіпед з ребрами х, у, z, то його об'єм є функція трьох змінних: V =f (х, у, z) (V = хуz).
Функції багатьох змінних можна виявити в сфері економіки, військової справи та взагалі в природі. Наприклад, процес гідравлічного переміщення, викликаний дощами, таненням снігів або меліорацією, дуже залежить від рельєфу місцевості, гідрогеологічних умов, сільськогосподарської діяльності і погоди.
Основні означення, які відносяться до функції кількох змінних, є узагальненням відповідних означень для функції однієї змінної. Зупинимося на функції двох змінних.
Означення. Якщо кожній парі значень х, у із множини D ставиться у відповідність одне визначене значення z із множини Е, то z називається функцією двох незалежних змінних х та у і позначається z =f (х, у).
Означення. Множина D називається областю визначення функції z, а множина E – множиною її значень. Змінні х, у по відношенню до функції z називаються її аргументами.
Приклад 1.
Нехай функція задана формулою z = Iп (2х+3у). Для того, щоб ця формула мала зміст, треба, щоб виконувалась нерівність 2х+3у>0, бо логарифм нуля і від'ємних чисел не існує в області дійсних чисел. Цю нерівність можна переписати у вигляді у>-2/Зх.
Для того, щоб з'ясувати, де розміщені на площині точки, координати яких задовольняють цю нерівність, розглянемо рівність у = -2/Зх. Це рівняння прямої, яка проходить через початок координат. Отже, областю визначення функції буде вся частина площини, розміщена вище прямої у = -2/Зх. Область визначення функції z = Iп (2х+3у) заштрихована на мал. 1.
Поняття границі та неперервності функції z = f (х, у) в точці вводяться аналогічно цим поняттям для функції однієї змінної.
Означення. Число А називається границею функції z = f (М) в точці М0, якщо для будь-якої збіжної до М0 послідовності точок М1, М2,..., Мп,... (Мп М0, Мпє М}) відповідна послідовність значень функції f (М1), f (Мm),... збігається до А.
Позначення: