+3 8(066) 185-39-18
fПредмет:
Тип роботи:
Контрольна робота
К-сть сторінок:
9
Мова:
Українська
або f (x, y) = A.
Означення. Функція z = f (М) називається неперервною в точці М0, якщо границя функції в цій точці існує і дорівнює значенню функції в цій точці, тобто
або
Нехай задані функція z = f (х, у) і точка (х, у) D. Якщо зміна функції z відбувається при зміні тільки одного з аргументів, наприклад х, при фіксованому значенні другого аргументу у, то функція набуває приросту
Δх z =f (х+Δх, у) – f (х, у), який називається частинним приростом функції f (х, у) по аргументу х.
Означення. Якщо існує скінченна границя:
,
то вона називається частинною похідною функції f (х, у) по аргументу х і позначається одним із символів:
тобто .
Аналогічно дається означення частинного приросту z по у і частинної похідної f (х, у) по у:
ΔУz = f/ (х, у+Δу) -f (х, у) ;
.
При обчисленні частинних похідних користуються вже відомими правилами і формулами диференціювання функції однієї змінної, вважаючи при цьому другу змінну сталою.
Приклад 2. Знайти частинні похідні функції z = 7х2 у3 -х.
Маємо: = 14ху3 -1 (у фіксоване) ; = 21 х2 у2 (x фіксоване).
Приклад 3. Знайти частинні похідні функції z = аrctg .
Аналогічно даються поняття частинних похідних функцій трьох і більше змінних.
Частинні похідні функції кількох змінних визначаються і обчислюються також в припущенні, що змінюється тільки одна з незалежних змінних, а інші при цьому фіксовані.
Частинна похідна функції кількох змінних має той же механічний зміст, що і похідна функції однієї змінної, – це швидкість зміни функції відносно зміни одного з аргументів.
Означення. Повним приростом функції z = f (х, у) в точці (х, у) називається різниця Δz = f (x + Δу, у + Δу) – f (x, у), де Δх і Δу – довільні прирости аргументів.
Означення. Функція x = f (х, у) називається диференційованою в точці (х, у), якщо в цій точці повний приріст можна представити у вигляді:
А і В не залежать від приростів Δх і Δу.
Повним диференціалом функції z = f (х, у) називається головна частина повного приросту Δz, лінійна відносно приростів аргументів Δх і Δу, тобто:
dz =AΔx + BΔy.
Диференціали незалежних змінних співпадають з їх приростами, тобто:
dx =Δx і dy = Δy.
Повний диференціал функції z =f (х, у) обчислюється за формулою:
(*)
Аналогічно, повний диференціал функції трьох змінних u = f (х, у, z) обчислюється за формулою:
При досить малому р = для диференційованої функції z = f (х, у) справедливі наближені рівності:
(**).
Вказані рівності широко використовуються при наближених обчисленнях, бо часто простіше обчислити диференціал, ніж повний приріст.
Приклад 4. Знайти повний диференціал функції z= Iп (х2 + у).
Використовуючи формулу (*), одержимо .
Основні правила диференціювання функцій
Нижче наведемо без доведення основні правила диференціювання.
Похідна сталої функції дорівнює нулю, тобто при f (x) = С,
f' (x) = С' = 0. (4)
На мові механіки це означає, що швидкість точки, яка знаходиться в стані спокою, дорівнює нулю.
Похідна алгебраїчної суми скінченного числа диференційованих функцій дорівнює такій же алгебраїчній сумі похідних цих функцій.
Приклад 1. Знайти похідну від функції у = 2 – х + х2.
Розв'язання. Застосовуючи відповідні формули, одержимо
у' = (2) ' – (х) ' + (х2) ' = -1 + 2х.
Наслідок: Якщо дві диференційовані функції відрізняються на постійну величину, то похідні їх рівні між собою.
Похідна добутку двох диференційованих функцій дорівнює добутку похідної першого співмножника на другий плюс похідна другого співмножника, помножена на перший, тобто у випадку y = u v маємо
у' = (u v) ' = u' v + v' u. (5)
Приклад 2. Нехай у = х3 • sin х.
Розв'язання.
За формулою (5) будемо мати у' = (х3 sin х) ' = Зх2 sin х + х3 cos х.
Наслідок: Сталий множник можна виносити за знак похідної, тобто (Си) ' = С (и) '.
Похідна добутку кількох диференційоаних функцій дорівнює сумі добутків похідної кожного із цих співмножників на всі останні.
Похідна частки. Якщо чисельник і знаменник дробу диференційовані функції і знаменник не перетворюється в нуль, то похідна дробу дорівнює також дробу, чисельник якого є різниця добутків знаменника дробу на похідну чисельника і чисельника дробу на похідну знаменника, а знаменник є квадрат попереднього знаменника.
Нехай у = Тоді (6).
Приклад 3. у =
Розв'язання. За формулою (6) будемо мати:
Наслідок: Якщо знаменник дробу – постійна величина, то . Наслідок: Якщо чисельник дробу – постійна величина, то .
Зокрема, при С = 1 знаходимо .
Приклад 4. Якщо , то маємо .
Похідна від tgx. Нехай Тоді:
Отже, (tgx) ' = = sec2 x. (7)
Похідна від ctgx. Нехай у = ctgx = Тоді маємо:
(8).
Формули диференціювання
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. ;
10. ;
11. ;
12. ;
13. .