Розробка програми для алгоритму знаходження власних векторів і власних значень методом обертань Якобі

 

 

 

2.1. Основні відомості з лінійної алгебри. Власні значення та власні вектори матриці 

2.2. Знаходження власних векторів і власних значень матриць. Метод обертання Якобі 

2.3. Засоби формування інтерфейсу користувача 

Список використаних джерел 

 

 

Чисельні методи є одним з потужних математичних засобів вирішення задачі. Найпростіші чисельні методи ми використовуємо всюди, наприклад, витягуючи квадратний корінь на листку паперу.

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь виникають як проміжний або остаточний етап при вирішенні ряду прикладних задач, що описуються диференціальними, інтегральними або системами нелінійних (трансцендентних) рівнянь. Вони можуть з'являтися як етап в задачах математичного програмування, статистичної обробки даних, апроксимації функцій, при дискретизації крайових диференціальних задач методом кінцевих різниць, методом кінцевих елементів, проекційними методами, в методі граничних елементів, дискретних особливостей, панельному методі аеродинамічного компонування літального апарату і т. д.

Матриці виникаючих систем можуть мати різні структури і властивості. Вже зараз є потреба у вирішенні систем лінійних алгебраїчних рівнянь з матрицями повного заповнення порядку декількох тисяч. При вирішенні низки прикладних задач методом кінцевих елементів в ряді випадків є системи, що володіють симетричними позитивно визначеними стрічковими матрицями порядку декілька десятків тисяч з половиною ширини стрічки до тисячі. І, нарешті, при використанні в ряді завдань методу скінченних різниць необхідно вирішити системи різницевих рівнянь з розрідженими матрицями порядку мільйон.

Одним з найпоширеніших методів вирішення систем лінійних рівнянь є метод обертань Якобі. Цей метод (який також називають методом простих ітерацій) відомий в різних варіантах вже більше 200 років

 

 

Завдання даної курсової роботи полягає в розробці програми для алгоритму знаходження власних векторів і власних значень методом обертань Якобі.

Першим завданням проекту є створення зрозумілого меню користувача.

Ввід даних та отримання вірного результату. Код меню користувача в додатку Б.

Друге завдання розробка функції що дозволяє знаходити власні вектори та власні значення методом Якобі. Код алгоритму в додатку А.

 

 

 

Якщо А – квадратна матриця n-го порядку і  при  , то число називається власним значенням матриці, а ненульовий вектор х – відповідним йому власним вектором. Перепишемо задачу в такому вигляді

  (1)

Для існування нетривіального розв’язку задачі (1) має виконуватися умова   (2) Цей визначник являє собою многочлен n-ї степені від ; його називають характеристичним многочленом. Значить, існує n власних значень – коренів цього многочлена, серед яких можуть бути однакові (кратні).

Якщо знайдено деяке власне значення, то, при підстановці його в однорідну систему (1), можна визначити відповідний власний вектор. Будемо нормувати власні вектори. Тоді кожному простому (не кратному) власному значенню відповідає один (з точністю до напрямку) власний вектор, а сукупність всіх власних векторів, що відповідають сукупності простих власних значень, лінійно-незалежна. Таким чином, якщо всі власні значення матриці прості, то вона має п лінійно-незалежних власних векторів, які утворюють базис простору.

Кратному власному значенню кратності р може відповідати від 1 до р лінійно-незалежних власних векторів. Наприклад, розглянемо такі матриці четвертого порядку:

  (3)

В кожної з них характеристичне рівняння приймає вигляд  , а отже, власне значення   і має кратність р=4. Проте в першої матриці є чотири лінійно-незалежних власних вектора   (4)

У другої матриці є тільки один власний вектор е1. Другу матрицю називають простою жордановою (або класичною) підматрицею. Третя матриця має так звану канонічну жорданову форму (по діагоналі стоять або числа, або жорданові підматриці, а інші елементи дорівнюють нулеві).

Таким чином, якщо серед власних значень матриці є кратні, то її власні вектори не завжди утворюють базис. Однак і в цьому випадку власні вектори, що відповідають різним власним значенням, являються лінійно-незалежними. [3, стор 156]

При розв’язуванні теоретичних і практичних задач часто виникає потреба визначити власні значення даної матриці А, тобто обчислити корені її вікового (характеристичного) рівняння

det (A – E) = 0 (2)

а також знайти відповідні власні векторі матриці А. Друга задача є простішою, оскільки якщо корені характеристичного рівняння відомі, то знаходження власних векторів зводиться до відшукання ненульових розв’язків деяких однорідних лінійних систем. Тому ми в першу чергу будемо займатися першою задачею – відшуканням коренів характеристичного рівняння (2).

Тут в основному застосовуються два прийоми: 1) розгортання вікового визначника в поліном n-го степеня D () = det (A – E) з подальшим розв’язком рівняння D () = 0 одним з відомих наближених, взагалі кажучи, способів (наприклад, методом Лобачевського-Греффе) наближене визначення коренів характеристичного рівняння (найчастіше найбільших по модулю) методом ітерації, без попереднього розгортання вікового визначника.