Розробка програми для алгоритму знаходження власних векторів і власних значень методом обертань Якобі

Як відомо, віковим визначником матриці А = [aij] називається визначник вигляду

D () = det (A – E) =   (1)

Прирівнюючи цей визначник до нуля, одержуємо характеристичне рівняння

D () = 0

Якщо потрібно знайти все коріння характеристичного рівняння, то доцільно заздалегідь обчислити визначник (1).

Розгортаючи визначник (1), одержуємо поліном n-го степеня

  (2)

Де  

є сума усіх діагональних мінорів першого порядку матриці А.  

є сума всього діагонального мінору другого порядку матриці А;

- сума всіх діагональних мінорів третього порядку матриці А і т. д. Нарешті

n = det A.

Легко переконатися, що число діагональних мінорів k-го порядку матриці А дорівнює

  (k = 1, 2, …, n).

Звідси одержуємо, що безпосереднє обчислення коефіцієнтів характеристичного полінома (2) еквівалентно обчисленню визначників різних порядків. Остання задача, взагалі кажучи, технічно важко здійснена для скільки-небудь великих значень n. Тому створені спеціальні методи розгортання вікових визначників (методи обертання Якобі, А. М. Данілевського, Леверье, метод невизначених коефіцієнтів, метод інтерполяції та ін.).

 

 

Метод обертань Якобі застосовується тільки для симетричних матриць   (  =  ) і вирішує повну проблему власних значень і власних векторів таких матриць. Він заснований на знаходженні за допомогою ітераційних процедур матриці U в перетворенні подібності

Λ =  , а оскільки для симетричних матриць А матриця перетворення подібності   є ортогональною (  = ), то Λ =  , де Λ – діагональна матриця з власними значеннями на головній діагоналі

Нехай дана симетрична матриця А. Потрібно для неї обчислити з точністю ε всі власні значення і відповідні їм власні вектори. Алгоритм методу обертання наступний:

Нехай відома матриця  на k-й ітерації, при цьому для k = 0  = А.

Вибирається максимальний по модулю недіагональні елемент  матриці  .

Ставиться завдання знайти таку ортогональную матрицю  , щоб в результаті перетворення подібності   =  відбулося обнулення елемента  матриці  . В якості ортогональної матриці вибирається матриця обертання, що має наступний вигляд:

У матриці обертання на перетині i – го рядка і j – го стовпця знаходиться елемент   де  - кут обертання, що підлягає визначенню. Симетрично щодо головної діагоналі (j -й рядок, i -й стовпець) розташований елемент  . Діагональні елементи  дорівнюють відповідно    ; інші діагональні елементи   інші елементи у матриці обертання U (к) дорівнюють нулю.

Кут обертання   визначається з умови :

 ,

причому якщо  

Будується матриця  ,   = ,

в якій елемент  .

В якості критерію закінчення ітераційного процесу використовується умова малості суми квадратів поза діагональних елементів:

Якщо   то ітераційний процес:

  = 

триває. Якщо  , то ітераційний процес зупиняється, і в

якості шуканих власних значень приймаються    

     . Координатними стовпчиками власних векторів матриці А в одиничному базисі будуть стовпці матриці

 , тобто  

причому ці власні вектори будуть ортогональні між собою, тобто

.

 

 

В додатку Б показаний код консольної програми для взаємодії з користувачем. Користувач вводить розмірність матриці (N). Після чого вводятся значення матриці. Коли значення введені перевіряється функцією (isSimmetrial) чи матриця симетрична. Якщо вона не симетрична програма почне роботу спочатку і запропонує ввести дані знову. Якщо ж матриця симетрична програма за допомогою функції (wrachenie) знайде власні вектори та власні значення та видасть їх на екран.

 

 

using System;

using System. Collections. Generic;

using System. Linq;

using System. Text;

using System. Threading. Tasks;

 

namespace yacobi_sharp

{

class Program

{

static void Main (string[] args)

{

int i, j;

int size;

double precision;

Console. Write («Метод обертання Якобi. «) ;

error1:

Console. Write («\nВведiть розмiрнiсть матрицi (NxN) N = «) ;

size = int. Parse (Console. ReadLine ()) ;

double[, ] coefficients = new double[size, size];

double[, ] solution = new double[size, size];

Console. Write («\nВведiть елементи матрицi: \n») ;

 

for (i = 0; i < size; i++)

{

for (j = 0; j < size; j++)

{

solution[i, j] = 0;

}

solution[i, i] = 1;

}

for (i = 0; i < size; i++)

{

for (j = 0; j < size; j++)

{

Console. Write («A[{0}][{1}]: «, i + 1, j + 1) ;

coefficients[i, j] = double. Parse (Console. ReadLine ()) ; ;

}

}

Console. Write («Сформована матриця: \n») ;

for (i = 0; i < size; i++)

{

for (j = 0;