Системи числення, які використовують у цифровій техніці. Переведення чисел

X (2) = an-1 an-2... a3 a2,

а залишок вiд дiлення дорiвнює a1. Повторення виконання вказаних дiй дозволяє знайти всi цифри ai.

Правило перше. Для переведення цiлого десяткового числа X в систему числення з основою q потрiбно послiдовно дiлити задане число X та утворенi частки на q до отримання частки, рiвної нулю. Шукане зображення є послiдовнiсть залишкiв вiд операцiй дiлення, причому останнiй залишок дає молодшу цифру.

Приклад 1. Перевести число 236 у вiсiмкову систему числення.

Виконуються операцiї дiлення:

_ 236 ¦ 8 _29 ¦ 8 _3 ¦ 8

16 29 24 3 0 0

_ 76 a1 = 5 a2 = 3

 72

a0 = 4

Отже, вiсiмковий запис числа 236 мае вигляд 354.

Приклад 2. Перевести число 236 у двiйкову систему числення.

Частки Залишки

 236 0 = a0

118 0 = a1

59 1 = a2

29 1 = a3

14 0 = a4

7 1 = a5

3 1 = a6

1 1 = a7

0

Записуючи знизу вверх, отримаємо 23610 = 111011002.

Розглянемо переведення правильних дробiв. Правильний десятковий дрiб X потрiбно перевести в систему числення з основою q, iнакше кажучи, потрiбно знайти цифри ai в записi (0. a-1 a-2... a-m). Використаємо спiввiдношення (1) :

X = a-1 q-1 + a-2 q-2 + a-3 q-3 +... + a-m q-m.

Як i при переведеннi цiлих чисел, цифри ai знаходяться послiдовно. Помножимо обидвi частини приведеної рiвностi (а фактично тiльки заданий дрiб X) на q:

X*q = a-1 + a-2 q-1 + a-3 q-2 +... + a-m q-m+1.

Цифра a-1 дорiвнює цiлiй частинi отриманого добутку, а дробова частина його вiдповiдає новому правильному дробу X (1) :

X (1) = a-2 q-1 + a-3 q-2 +... + a-m q-m+1.

При множеннi X (1) на q цiла частина добутку дає цифру a-2, а дробова частина вiдповiдає новому правильному дробу

X (2) = a-3 q-2 +... + a-m q-m+2.

Звiдси випливає наступне правило переведення.

Правило друге. Для переведення правильного десяткового дробу X в систему числення з основою q потрiбно послiдовно множити заданий дрiб i дробовi частини добуткiв, якi отримуються на q. Шуканi цифри нового зображення є послiдовнiсть цiлих частин добуткiв, причому перша iз них дає старшу цифру a.

Приклад 3. Перевести десятковий дрiб 0. 8125 у вiсiмкову систему числення.

Виконуємо операцiї множення:

 0|8125 0|5000

* | 8 * | 8

а-1 = 6|5000 а-2 = 4|0000

Вiсiмкове зображення десяткового дробу 0. 812510 є 0. 648.

Приклад 4. Перевести десятковий дрiб 0. 3 у двiйкову систему числення.

Виконуємо операцiї множення:

0|3 0|6 0|2 0|4 0|8 0|6

* |2 * |2 * |2 * |2 * |2 * |2

a-1 = 0|6 a-2 = 1|2 a-3 = 0|4 a-4 = 0|8 a-5 = 1|6 a-6 = 1|2

Як видно, при умовi множення нiколи не отримаємо нульової дробової частини, тому десятковий дрiб не має точного двiйкового зображення, а з точнiстю до шостого двiйкового розряду дорiвнює 0. 0100112.

Сформульованi правила переведення справедливi не тiльки для переведення десяткових чисел в систему числення з основою q, але i для переведення чисел iз системи числення з основою q1 в систему числення з основою q2. У цьому випадку операцiї множення та дiлення потрiбно виконувати по правилах системи числення з основою q2. Так як легко оперувати тiльки десятковими числами, то у бiльшостi випадкiв таке перетворення здiйснюеться через промiжну десяткову систему числення, що умовно можна записати у виглядi q1  10  q2.

Розглянемо елементарнi прийоми взаємного перетворення двiйкових i вiсімкових (а також шiстнадцяткових) чисел. Так як 8=23 = 10002 та 16=24=10 0002, то цi перетворення виконуються без будь-яких обчислень.

Правило трете. Для переведення двiйкового числа в систему числення з основою 8 (16) потрiбно задане число влiво та вправо вiд крапки згрупувати по три (чотири) бiти, а потiм кожну групу записати однiєю вiсімковою (шiстнадцятковою) цифрою.

Приклад 5. Перевести 1111010. 10112 у системи числення з основами 8 та 16.

1111010. 10112 = 001 111 010. 101 100 = 172. 548,

1111010. 10112 = 0111 1010. 1011 = 7A. B16.

Правило четверте. Для переведення вiсiмкового (шiснадцяткового) числа у двiйкове потрiбно кожну цифру заданого числа записати у виглядi еквiвалентного їй трьохбiтного (чотирьохбiтного) двiйкового числа.

Приклад 6. Перевести числа 273. 48 та 5AF. 1816 у двiйкову систему числення.

273. 48 = 010 111 011. 100 = 10111011. 1

5AF. 1816 = 0101 1010 1111. 0001 1000 = 10110101111. 00011

 

 

1.Яка різниця між цифровими і аналоговими сигналами?

2.Що таке квантування?

3.Що таке біт і байт?

4.Що таке система числення?

5.Як утворюють числа в різних системах числення?

6.Як перевести число із двійкової системи числення в десяткову і навпаки?

7.Як перевести число із шістнадцяткової системи числення в десяткову і навпаки?

8.Як проводять додавання і віднімання чисел у двійковій системі числення?

 

 

1. Злобин В. К., Григорьев В. Л. Программирование арифметических операций в микропроцессорах. – М. ; Вісш. шк., 1991. -303 с.
2. Лидовский В. В. Теория информации. Учебное пособие. – М. Компания спутник+, 2004. – 111 с.
3. Ямпольский В. С. Основы автоматики и злектронно-вычислительной техники. -М. : Просвещение, 1991. -223 с.
4. Савельев А. Я. Арифметические и логические основы цыфровых автоматов: Учебник. – М. : Выща шк., 1980. – 225с
5. Каган Б. М. Злектронные вычислительные машины и системи. – М. : Знергоатомиздат, 1991ю- 592 с.
6. Алексенко А. Г., Шагурин И. И. Микросхемотехника. -М. : Радио и связь, 1990. -496 с.
7. Баузр Ф. Л., Гооз Г. Информатика. Вводный курс: В 2-х ч. 4. 1.. -М. : Мир, 1990. -336 с
8. Глушков В. М. Основы безбумажной информатики. – М. : Наука, 1987. – 552 с.
9. Темников Ф. Е. и др. Теоретические основы информационной техники, М., «Энергия», 1971. 424 с.
10. Самофалов К. Г. та ін. Прикладна теорія цифрових автоматів К. : Вища шк. Головне вид-о, 1987. -375 с.

 

Завдання 1. Перевести числа із десяткової системи числення у двійкову:

 

Завдання 2. Перевести із шістнадцяткової системи у двійкову та із двійкової у десяткову систему числення:

 

Завдання 3. Перевести із двійкової системи числення у вісімкову і із вісімкової у десяткову систему числення:

 

Завдання4. Перевести із десяткової системи у шістнадцяткову без проміжного переведення у двійкову з точністю до трьох розрядів після коми:

 

 

Завдання 5. Перевести в десяткову систему числення такі числа: