Аналітико-чисельні підходи до розв’язування задач термопружності термочутливих тіл при конвективному теплообміні

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, п’яти розділів, які містять 28 рисунків і 5 таблиць, висновків та списку літератури. Табличний матеріал включено в текст. Загальний обсяг роботи становить 155 сторінок. Бібліографія складається із 158 джерел і займає 15 сторінок.

 

 

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету і задачі досліджень; відзначено наукову новизну та практичне значення одержаних результатів роботи, її зв’язок з науковими програмами.

У першому розділі виконано огляд літератури з теплопровідності та термопружності однорідних та кусково-однорідних тіл, фізико-механічні характеристики яких є сталими, залежать від координат чи температури.

У другому розділі дана загальна постановка нестаціонарних задач теплопровідності та квазістатичних задач термопружності для термочутливих тіл. В умовах конвективного теплообміну нестаціонарні крайові задачі теплопровідності є нелінійними і, зокрема, можуть мати вигляд

 , (1)

  або   (i = 1, 2, 3), (2)

 , (3)

де   – залежні від температури коефіцієнт теплопровідності та об’ємна теплоємність,   – коефіцієнт теплообміну з поверхні  .

Відповідна задача термопружності, якщо за вихідні взяті рівняння в переміщеннях, має вигляд

 , (4)

 , (5)

при заданих граничних умовах. Тут  - залежні від температури коефіцієнти Ляме;   – залежний від температури коефіцієнт лінійного розширення.

Методом збурень здійснено зведення задачі термопружності до послідовності крайових задач, де системи рівнянь мають вигляд

  (основне наближення)  (6)

  (k-те наближення)  (7)

з відповідними граничними умовами. Диференціальні оператори   мають такий самий вигляд, як у задачі термопружності для нетермочутливого тіла. Розв’язок вихідної задачі є сумою розв’язків крайових задач для основного і k-х наближень. Тут же методом збурень виконано зведення осесиметричної задачі термопружності для контактуючих циліндричних тіл до послідовності відповідних крайових задач.

У третьому розділі викладено методику побудови аналітико-чисельних розв’язків задач теплопровідності для термочутливих тіл з простою нелінійністю при врахуванні конвективного теплообміну з їх поверхонь та адаптовано метод прямих до розв’язування такого типу задач.

Розглянуто нестаціонарну крайову задачу теплопровідності для термочутливого тіла

 , (8)

  або  , (9)

 . (10)

Суть запропонованої методики полягає в тому, що нелінійна крайова задача (8) - (10) після переходу до безрозмірних величин та подання теплофізичних характеристик у вигляді:  , частково лінеаризується за допомогою введення зміннної Кірхгофа і набуває вигляду

 , (11)

  або  , (12)

 . (13)

Якщо вважати, що коефіцієнт температуропровідності є сталою величиною, що має місце для багатьох теплоізоляційних матеріалів, шамоту, графіту, деяких марок сталей, чистих металів, то рівняння (11) на змінну Кірхгофа стає лінійним, а нелінійність залишається в умові конвективного теплообміну (13) у вигляді нелінійної залежності температури від змінної Кірхгофа. Остаточна лінеаризація задачі здійснюється за допомогою спеціально побудованих сплайнів нульового чи першого порядку, значення яких в точках розбиття співпадають зі значеннями шуканої температури на поверхні тіла  , а на кожному з часових проміжків інтерполюють її сталою величиною або лінійною функцією, а саме:

 , (14)

 . (15)

В результаті цього отримуємо лінійну крайову задачу на змінну Кірхгофа, розв’язок якої знаходимо зручним класичним методом у вигляді  . Здійснивши обернене перетворення Кірхгофа, яке, наприклад, у випадку   має вигляд

 , (16)

знаходимо температуру як функцію координати, часу та невідомих параметрів сплайн-апроксимації

 . (17)

Записавши вираз (17) на поверхні   та використавши метод колокацій, отримуємо систему алгебричних рівнянь для визначення невідомих параметрів сплайн-апроксимації

  (18)

Підстановка знайдених параметрів сплайн-апроксимації в (17) завершує розв’язок вихідної задачі.

Адаптовано метод прямих до розв’язування такого типу задач, коли всі теплофізичні характеристики залежать від температури, що дало можливість перевірити достовірність отриманих аналітико-чисельних розв’язків. При цьому просторову дискретизацію здійснено методом заміни похідних скінченно-різницевими співвідношеннями та інтегро-інтерполяційним методом. Досліджено, з якою похибкою апроксимації за кроком розбиття області зміни просторової координати отримана напівдискретна задача (задача Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь) наближає вихідне рівняння теплопровідності та граничні умови. Запропоновано прийом підвищення порядку апроксимації граничної умови без збільшення шаблону у випадку, коли розв’язок вихідної задачі не може бути продовжений за межі заданої області.

У четвертому розділі побудовано аналітико-чисельний розв’язок квазістатичної задачі термопружності для термочутливого простору зі сферичною порожниною радіуса R, який нагрівається шляхом конвективного теплообміну з середовищем сталої температури   через поверхню порожнини, яка вільна від силових навантажень. У даному випадку крайові задачі для визначення складових розв’язку задачі термопружності мають вигляд

  (основне наближення), (19)

  (k-те наближення), (20)

 , (21)

а крайова задача на змінну Кірхгофа, через яку визначається температура, має вигляд

 , (22)