Аналітико-чисельні підходи до розв’язування задач термопружності термочутливих тіл при конвективному теплообміні

Розв’язки крайової задачі (22) - (23), знайдені після лінеаризації умови конвективного теплообміну сплайнами (14) або (15) за допомогою інтегрального перетворення Лапласа, мають вигляд

 , (24)

або

 . (25)

Задача (22) - (23) розв’язана також методом прямих. З метою підвищення порядку апроксимації умови конвективного теплообміну (23) застосовано прийом підвищення порядку апроксимації без збільшення шаблону, так як розв’язок задачі не може бути продовжений за межі порожнини. Це дозволило отримати напівдискретну задачу з другим порядком точності за кроком розбиття за просторовою змінною.

На основі отриманих розв’язків задачі теплопровідності проведено чисельні дослідження нестаціонарного температурного поля в термочутливому просторі зі сферичною порожниною, матеріал якого є сталь з коефіцієнтом теплопровідності   Вт/м•K. Розрахунки виконані з вихідними даними:  ; 6; 15. При переході до безрозмірних величин за опорну взято температуру гріючого середовища  K, а за характерний розмір – радіус сферичної порожнини R. Дослідження проводились з врахуванням того, що   При чисельному розв’язуванні задачі методом прямих, розв’язок напівдискретної задачі знайдений за допомогою формул диференціювання назад (частковий випадок методів Гіра зі стрічковою тридіагональною структурою матриці Якобі). Отримали добре співпадіння чисельних результатів розв’язків. Проведений аналіз отриманих результатів показує, що запропонована методика побудови аналітико-чисельних розв’язків ефективно працює у всій області зміни часу на відміну від методу прямих, де виникають проблеми при обчисленні значень температури при малих часах і що доцільніше проводити остаточну лінеаризацію умови конвективного теплообміну сплайном першого порядку, а не нульового, що приводить до економії об’єму пам’яті та комп’ютерного часу за рахунок меншого розбиття області зміни часу. Знайдено розв’язок крайової задачі для аналогічного нетермочутливого простору при  Вт/м•K. Різниця температур у термочутливому і нетермочутливому просторах найбільша поблизу сферичної порожнини і становить приблизно 4-5%.

З метою дослідження впливу залежності від температури коефіцієнта температуропровідності на величину та характер розподілу температури знайдено розв’язки даної задачі, коли всі теплофізичні характеристики залежать від температури, і при опорному значенні коефіцієнта температуропровідності. Розбіжність між знайденими значеннями температур не перевищує 0, 5%.

За відомим розподілом температури розв’язано крайові задачі (19) - (21). При цьому за матеріал вибрано сталь, коефіцієнт лінійного розширення якої є лінійною функцією температури:  ; модуль зсуву – квадратична функція температури:   МПа. Коефіцієнт Пуассона вважається незалежним від температури і дорівнює 0, 4. Обчислено основне і перше наближення для переміщення і напружень. Отримані чисельні результати показали, що приблизно 90-95% сумарних величин переміщення і напружень дають основні наближення. З проведених чисельних досліджень видно, що   є монотонно зростаючими функціями від Fo, а   зі збільшенням Fo зростає, досягає додатного максимуму і дальше прямує до від’ємних стаціонарних значень. Проведений аналіз отриманих числових результатів показує, що розбіжність між значеннями переміщень в залежності від Fo в термочутливому і нетермочутливому просторах досягає приблизно 35-40%, а між напруженнями 25-30%.

На рис. 1 показано розподіл температури в залежності від радіуса   для різних значень критерію Fo при Bi = 1; на рис. 2, 3 показано графіки розподілу переміщення і радіальних напружень в залежності від Fo,   для Bi = 1, а на рис. 4 – для колових напружень при Bi = 6. Для порівняння на рис. 1-4 наведено графіки (штриховими лініями), що відповідають розв’язкам, отриманим при сталих значеннях характеристик:  .

Отриманий розв’язок для переміщення   має особливість, яка полягає в тому, що на поверхні сферичної порожнини  , а зі збільшенням Bi та Fo зростає у від’ємному напрямку, на відміну від нетермочутливого простору, де  .

У п’ятому розділі побудовано аналітико-чисельні розв’язки квазістатичних задач термопружності для системи контактуючих термочутливих циліндричних тіл, зовнішня поверхня якої вільна від силового навантаження і через неї здійснюється конвективний теплообмін з середовищем сталої температури, а на поверхні дотику циліндрів виконуються умови ідеального теплового та механічного контактів; суцільного термочутливого циліндра, поверхня якого вільна від силового навантаження і через неї відбувається конвективний теплообмін з середовищем сталої температури. У випадку системи контактуючих циліндрів розв’язання задачі термопружності зведено до побудови розв’язків систем рівнянь:

  (основне наближення), (26)

  (i=1, 2), (k-те наближення)  (27)

при граничних умовах

 . (28)

Крайова задача спряження на змінні Кірхгофа, через які визначається температура системи, має вигляд

  (29)

 , (30)

 , (31)

 . (32)

Як бачимо, введення змінних Кірхгофа дозволило частково лінеаризувати вихідну задачу, а нелінійності залишилися в умовах, отриманих з рівності температур на поверхні контакту циліндрів   та конвективного теплообміну через поверхню зовнішнього циліндра  . Остаточну лінеаризацію умови конвективного теплообміну здійснено шляхом апроксимації нелінійного виразу   за допомогою сплайна нульового порядку (14), а граничну умову рівності температур (30) – за допомогою введення так званого “лінеаризуючого параметра  ”, запропонованого в роботах В. С. Поповича. В результаті отримано лінійну задачу спряження на змінні Кірхгофа, розв’язок якої побудовано за допомогою інтегрального перетворення Лапласа. Знайдено змінну Кірхгофа як функцію координати, часу та параметрів лінеаризації  . Шуканий розподіл температури отримали в результаті здійснення оберненого перетворення Кірхгофа та визначення параметрів лінеаризації.

Визначили температурне поле у циліндрі з алюмінієвого сплаву зі стальним покриттям. Прийняли  К,   а коефіцієнти теплопровідності матеріалів циліндра і