Економетрія

де матриця S має вигляд:

Параметр ρ наближено можна визначити на основі залишків вибіркової моделі, оціненої за звичайним методом найменших квадратів. З цією метою розраховують так званий скоригований циклічний коефіцієнт кореляції :

Оскільки коваріація залишків    у матриці S при α >2 часто наближається до нуля, у практичних розрахунках зразу ж можна визначити матрицю S-1, обернену до матриці S :

Використання виразу (7.13) значно полегшує і прискорює розрахунки оцінок параметрів моделі.

 Найкращий незміщений лінійний точковий прогноз у випадку автокореляції залишків обчислюється за наступною залежністю :

де B – вектор оцінок параметрів моделі, отриманих узагальненим методом найменших квадратів (УМНК); ρ – параметр з матриці S ;   - залишок в останньому спостережені, обчислений для моделі, параметри якої оцінені на основі узагальненого методу найменших квадратів;   - вектор прогнозних значень пояснюючих змінних моделі.

Інтервальні прогнози у випадку автокореляції залишків обчислюють за такими ж самими залежностями, як і у випадку гетероскедастичності. 

 

 

Одним із способів усунення корелювання пояснюючої змінної з випадковим відхиленням є метод інструментальних змінних.

Сутність цього методу полягає в заміні змінної, що корелює із залишками, інструментальною змінною (ІЗ), яка повинна мати такі властивості:

• корелювати (бажано значною мірою) із заміненою пояснюючою змінною;
• не корелювати з випадковим відхиленням.

Опишемо схему використання інструментальних змінних на прикладі парної регресії, в якій

Y = β0 + β1X + ε.                                                (8.1)

Змінну X замінюють змінною Z такою, що cov(Z ; X ) ≠ 0 і cov(Z , ε) = 0. Принципи використання інструментальних змінних передбачають виконання

таких умов:

M (εt ) = 0,cov(zt , εt ).                                        (8.2)

Відповідні вибіркові оцінки даних умов такі:

У розгорнутому вигляді остання система має вигляд:

Звідки

Нехай зі збільшенням обсягу вибірки D(X) прямує до деякої скінченної межі  , коваріація cov (Z, X), до скінченної межі  .

Покажемо, що в цьому разі  прямує до істинного значення  . З останньої системи маємо:

 

Тут ми скористались такими співвідношеннями:  , тому що   При великих обсягах вибірки розподіл   прямує до нормального:

 

 

Для багатьох економічних процесів типово, що ефект від впливу деякого фактора на показник, який характеризує процес, виявляється не одразу, а поступово, через деякий час або протягом деякого часу. Таке явище називається запізнюванням (затримкою), а проміжок часу, в якому спостерігається це запізнювання, — часовим лагом, або просто лагом.

Наприклад, функція споживання після різкої зміни доходу також змінюється, але не пропорційно до доходу. Зокрема, зі збільшенням доходу витрати значно зростають (задовольняються нагальні потреби), а потім можуть зменшуватися за рахунок збільшення інвестицій (плануються великі витрати і зростають нагромадження, а споживання зменшується). Вкладання коштів у наукові дослідження не одразу впливає на зростання продуктивності праці — має пройти певний час від виникнення наукової ідеї до її впровадження у виробництво. Капітальне будівництво також не дає миттєвих прибутків і т. ін.

Моделі, в яких досліджуваний показник у момент часу t визначається не лише поточними, а й попередніми значеннями незалежних змінних, називаються дистрибутивно-лаговими.

Моделі, в яких досліджуваний показник у момент часу t визначається своїми попередніми значеннями, називаються авторегресійними або динамічними моделями. 

Якщо в економетричній моделі незалежні змінні використовують за кілька попередніх періодів, то такі моделі називають моделями з кінцевим лагом (скінченними моделями). Якщо вплив незалежної змінної не обмежується певним періодом, розглядають нескінченні лагові моделі.

Звичайно, нескінченна лагова модель більш загальна, однак практичне застосування такої моделі досить проблематичне через велику кількість факторів, складність внутрішньої структури та обмеженість часових рядів — інформаційної бази моделей.

Коефіцієнт а0 при незалежній змінній xt, що відбиває її вплив на залежну змінну в поточний період, називається короткостроковим, або впливовим, мультиплікатором. 

Остання сума для скінчених моделей, очевидно, є скінченим числом. Для нескінченної моделі лагові коефіцієнти за певних умов також можуть утворити скінченну суму. Якщо кожен із коефіцієнтів розділити на їх суму, отримаємо відповідно нормовані коефіцієнти лага та нормовану структуру лага.

Усі нормовані коефіцієнти менші від одиниці, а їх сума дорівнює одиниці.

Дистрибутивно-лагові моделі, які ще називають моделями розподіленого лага, задовільно описують економічні процеси лише в стабільних (незмінних) умовах. Необхідність враховувати ще й поточні умови функціонування вимагає застосування узагальнених моделей.

Якщо економетрична модель містить не лише лагові змінні, а й змінні, що безпосередньо впливають на досліджуваний показник (тобто містить й поточні умови функціонування), то така модель називається узагальненою моделлю розподіленого лага:

 

Оцінювання параметрів таких рівнянь ускладнюється обмеженнями, що накладаються на коефіцієнти при лагових змінних.

Перш ніж будувати економетричну модель з лаговими змінними, необхідно