Економетрія

Предмет:

Тип роботи:

Курс лекцій

К-сть сторінок:

Мова:

Українська

Оцінка:

діагональ якої містить одиниці, оскільки дисперсія випадкової величини ε в цьому випадку є сталою, а інші елементи, як було показано у попередній темі представляють собою ненульові коваріації значень випадкової величини ε в різних спостереженнях. Слід також зазначити ,що вигляд і „наповнення” матриці S залежать від виду залежності між залишками.

У загальному випадку залежність між значеннями стохастичної складової ε в різних спостереженнях для випадку автокореляції можна подати наступним чином:

де ρ1, ρ2, ... ,ρs – коефіцієнти автокореляції 1,2 і s-го порядку відповідно ;

ui – випадкова величина, яка відповідає усім припущенням класичного лінійного регресійного аналізу – тобто вона розподілена за нормальним законом із сталою дисперсією і має нульове математичне сподівання.

Найпростішим і найбільш поширеним є випадок автокореляції залишків, коли залежність між послідовними значеннями стохастичної складової описують так званою авторегресійною схемою першого порядку – AR(1), яка має наступний вигляд :

Якщо ρ додатне ( ρ>0 ), то автокореляція залишків є позитивною, якщо ρ від’ємне ( ρ<0 ), то автокореляція залишків є негативною. При ρ=0 автокореляція залишків відсутня.

Графічно випадки позитивної і негативної автокореляції залишків, а також її відсутності можна представити наступним чином (рис. 7.1):

Рис. 7.1 - Графічна ілюстрація автокореляції залишків

Коефіцієнт автокореляції ρ у виразі (7.5) не може бути визначеним безпосередньо, оскільки неможливо визначити дійсні (у генеральній сукупності спостережень) значення випадкової величини εi. Але його можна оцінити звичайним методом найменших квадратів (МНК ) на основі відомих залишків для статистичної вибірки. Тоді отримаємо :

На практиці ж замість (7.6) частіше обчислюють наступну оцінку коефіцієнта автокореляції ρ:

Оцінку (7.7) називають ще циклічним коефіцієнтом автокореляції.

Автокореляція залишків найчастіше спостерігається у наступних двох випадках :

коли економетричну модель будують на основі часових рядів (у цьому випадку, якщо існує кореляція між послідовними значеннями деякої незалежної змінної, то буде спостерігатися і кореляція між послідовними значеннями стохастичної складової ε, особливо ,якщо використовуються лагові змінні ) ;
коли допущена помилка специфікації економетричної моделі – до моделі не включена істотна пояснююча змінна.

При наявності автокореляції залишків в принципі можна оцінити параметри узагальненої економетричної моделі звичайним однокроковим методом найменших квадратів (МНК). Але отримані при цьому оцінки параметрів будуть неефективними. Негативними наслідками цього, як і у випадку гетероскедастичності, будуть:

завищені значення дисперсії параметрів моделі ;
помилки при використанні t – тестів і F – тестів ;
неефективність прогнозів, тобто отримання прогнозів з дуже великою дисперсією.

7.2. Тестування наявності автокореляції залишків

Оскільки автокореляція є негативним явищем, потрібно вміти його тестувати. На даний час найбільш розповсюдженими тестами, які використовуються для тестування автокореляції залишків, є наступні статистичні тести :

тест Дарбіна - Уотсона ;
тест фон Неймана ;
тест на основі нециклічного коефіцієнта автокореляції ;
тест на основі циклічного коефіцієнта автокореляції .

Найбільш відомим і поширеним тестом перевірки моделі на наявність автокореляції залишків є тест Дарбіна-Уотсона. Цей тест використовується для авторегресійних схем 1-го порядку і має наступний алгоритм .

Алгоритм тесту Дарбіна - Уотсона

Крок 1. Виходячи з відсутності автокореляції залишків на основі методу найменших квадратів будується економетрична модель і обчислюються її залишки .

Крок 2. Розраховується статистика (критерій) Дарбіна-Уотсона за наступною залежністю :

(7.8)

Крок 3. Задаючись рівнем значимості , для числа факторів моделі m і числа спостережень n за статистичними таблицями DW - розподілу Дарбіна-Уотсона, визначаються два значення dL , і dU.

Крок 4. Будуються зони автокореляційного зв’язку, які схематично можна представити в наступному вигляді:

Рис. 7.2 - Зони автокореляційного зв’язку

Крок 5. На основі розрахункового значення критерію DW роблять висновок щодо наявності або відсутності автокореляції залишків :

якщо - це свідчить про наявність позитивної автокореляції залишків ;
якщо - це свідчить про наявність негативної автокореляції залишків;
якщо - неможливо зробити висновок ні про наявність, ні про відсутність автокореляції залишків ;
якщо - автокореляція залишків відсутня .

Лекція 7.

7.3. Оцінювання параметрів економетричних моделей у разі наявності автокореляції залишків

Для оцінювання параметрів економетричних моделей з автокорельованими залишками в основному використовуються наступні методи:

метод Ейткена (УМНК) ;
метод перетворення вихідної інформації ;
метод Кочрена – Оркатта ;
метод Дарбіна .

Перші два методи використовують у випадку, коли залишки задовольняють авторегресійній схемі першого порядку, третій і четвертий - можна застосовувати тоді, коли залишки описуються за авторегресійною схемою вищого порядку.

Розглянемо докладніше метод Ейткена (узагальнений метод найменших квадратів). Цей метод (як і у випадку гетероскедастичності) базується на перетворенні вихідної моделі з урахуванням коваріації залишків (дисперсійно-коваріаційної матриці залишків) у модель без корельованих залишків, до якої потім застосовується метод найменших квадратів.

Нехай в економетричній моделі випадкова величина задовольняє авторегресійній схемі першого порядку , де ui – нормально розподілені залишки. Тоді оператор оцінювання параметрів моделі, як і у випадку гетероскедастичності, буде мати