Методичні вказівки до лабораторних робіт з радіаційної фізики (частина 1)

Але для практики не має значення, ядра з якими конкретними номерами розпадуться за даний проміжок часу. Для практики має значення скільки всього ядер розпадеться за цей час. Тому імовірність розпаду к ядер за цей час буде дорівнювати сумі однакових за величиною імовірностей розпаду к ядер з абсолютно різними номерами 

                                            ,                                            (1)

де  –кількість комбінацій з N елементів по к 

                                              .                           (2)

Імовірність розпаду одного ядра

                                                                ,                                                           (3)

де a–середня кількість розпадів за даний проміжок часу. З формул (1) і (3) знайдемо імовірність розпаду к ядер.

                                               .                                         (4)

Враховуючи, що реально кількість розпадів набагато менша загальної кількості ядер (к<<N), формулу (4) можна спростити. З формул (2) і(4) отримаємо

                       (5)

У виразі (5) можна провести деякі спрощення. В усіх дужках, крім останньої, можна знехтувати членами з N у знаменнику. В останній дужці цього зробити не можна, оскільки показник степеня цієї дужки дуже великий. Останню дужку представимо у вигляді

                                          .                                          (6)

Позначимо  . У даному випадку х–дуже велика величина. Враховуючи, що 

                                                             

( –основа натуральних логарифмів), з (6) отримаємо

                                                              .                                                   (7)

Підставляючи (7) в (5) і враховуючи попередні спрощення, отримаємо

                                                         .                                                            (8)

Формула (8) і дає імовірність певного числа розпадів к за даний проміжок часу і називається розподілом Пуасона. Розподіл Пуасона визначається одним незалежним параметром а. 

Розподіл Пуасона встановлює не тільки статистику радіоактивного розпаду, а й статистику реєстрацій (імпульсів) детектора. При постійному потоку однакових фотонів окремий фотон має імовірність   бути поглинутим детектором і викликати імпульс і імовірність   не викликати імпульсу. Так, що всі вихідні умови, які були прийняті при виводі (8), залишаються справедливими і тут. Значить, формула (8) визначає і статистику реєстрацій (імпульсів) детектора.

б) Властивості розподілу Пуасона. 

Знайдемо суму імовірностей всіх можливих значень випадкової величини к, розподіленої за законом Пуасона

                                     .                          (9)

Імовірність отримати одне з усіх можливих значень випадкової величини к, розподіленої за законом Пуасона, дорівнює одиниці, тобто розподіл Пуасона є нормованим.

Знайдемо математичне сподівання випадкової величини к, розподіленої за законом Пуасона

                    (10)

Таким чином, математичне сподівання або центр розподілу, дорівнює середньому значенню випадкової величини. 

Знайдемо різницю імовірностей двох сусідніх значень величини к