Методичні вказівки до лабораторних робіт з радіаційної фізики (частина 1)

д). Визначення випадкових похибок детекторів іонізуючих випромінювань.

Як випливає з попереднього, розподіл числа імпульсів детектора за певний час задовольняє закону Пуасона. Практика вимірювань показує, що розподіл числа імпульсів не завжди задовольняє закону Пуасона. Це пояснюється тим, що в самих вимірювальних приладах виникають флуктуаційні процеси, а також зміною параметрів вимірювальних приладів з часом. Хороша вимірювальна апаратура не повинна впливати на статистику відліків.

При практичних вимірюваннях величина а, як правило, невідома. Для достатньо точної її оцінки робиться виборка з n вимірювань і за оцінку величини а береться вибіркове середнє  (25). Якщо величина , то розподіл Пуасона, якому задовольняє величина y, з достатньою точністю можна апроксимувати нормальним з дисперсією Dy=y. Тоді вибіркове середнє також буде задовольняти нормальному розподілу. Середньоквадратичне відхилення вибіркового середнього 

                              або                 .                             (31)

Співвідношення (31) можна пояснити і іншим чином. При наявності значної кількості незалежних і рівноточних елементів виборки (практично при  )згідно з теоремою Ліндеберга-Леві незалежно від того, який розподіл має величина х, вибіркове середнє буде мати нормальний розподіл з середньоквадратичним відхиленням (31).

Звідси видно, що довірчий інтервал   для більшості випадків може бути знайдений як для випадкової величини, розподіленої за нормальним законом з середньоквадратичним відхиленням (31). Половина довірчого інтервалу, або абсолютна випадкова похибка вибіркового середнього за класичною методикою

                                                           ,                                                         (32)

де   – параметр інтеграла імовірності (визначається імовірністю попадання в довірчий інтервал);   при  ;   – коефіцієнт Стьюдента. З (31) і (32) отримаємо

                                                                                                                        (33)

Це співвідношення найчастіше і застосовується для визначення випадкових похибок відліків детектора.

Якщо ж вимірювальна установка суттєво впливає на статистику відліків (велика різниця між вибірковим середнім і вибірковою дисперсією  (28)), то закон розподілу числа відліків завдяки впливу багатьох незалежних причин можна вважати нормальним з невідомою дисперсією розподілу. У цьому випадку оцінка випадкових похибок вимірювання проводиться за розподілом Стьюдента

                                                                                                                  (34)

де  – вибіркове середньоквадратичне відхилення, яке визначається з (28).

е) Перевірка статистичної гіпотези про певний закон розподілу результатів експерименту по критерію Пірсона.

Для такої перевірки достатньо велику виборку об’єму n необхідно розділити на к інтервалів однакової ширини. Якщо ж в якомусь інтервалі менше 5 значень випадкової величини, то його необхідно приєднати до сусіднього і вважати об’єднаний інтервал одним інтервалом. Нехай в і-тий інтервал попало  значень випадкової величини. За даним законом обраховується імовірність попадання випадкової величини в цей інтервал  . Обчислюється величина, в якій порівнюються емпіричні і теоретичні частоти попадання в цей інтервал

                                                    .                                            (35)

В курсі математичної статистики доводиться, що якщо випадкова величина має нормальний розподіл і  , то величина   має розподіл   з   ступенями вільності.

Перевіряється основна гіпотеза про виконання даного закону при рівні значимості   (Р – імовірність справедливості гіпотези). Для цього з таблиць знаходиться критичне значення   при числі ступенів вільності  . Якщо 

                                                                                                                  (36)

гіпотеза відкидається, емпіричний і теоретичний розподіли відрізняються значимо. В протилежному випадку відкидати гіпотезу нема підстав.

є) Дисперсійний аналіз відліків детектора.

Дисперсійний аналіз використовується для перевірки стабільності роботи радіометричної апаратури. Будемо вважати, що вимірювана величина має нормальний розподіл. Велика виборка об’єму n розділяється на r малих виборок об’єму  . Обчислюється для кожної малої виборки вибіркове середнє і вибіркова дисперсія

                                     .                        (37)

Для великої виборки обчислюється вибіркове середнє і дві дисперсії 

                                (38)

Перша з двох дисперсій характеризує усереднене розсіювання всередині малих виборок, а друга – розсівання між виборками. 

Основна статистична гіпотеза полягає тому, що всі малі виборки мають одне і те ж математичне сподівання, тобто вибіркові середні малих виборок відріз- няються незначимо. Для перевірки цієї гіпотези обчислюють величину

                                                                                                                    (39)

В теорії імовірностей доводиться, що величина  має так званий   розподіл, або розподіл Фішера. Якщо

                                                                    ,                                                  (40)

то дана гіпотеза несправедлива. Величина   знаходяться з таблиць критичних точок розподілу Фішера для рівня значимості   (Р–імовірність) і числа ступенів вільності дисперсій             

 

Хід роботи і обробка результатів вимірювань

 

1. Ознайомитись з інструкцією по експлуатації лабораторної установки.

2. Провести вимірювання n (не менше 100) відліків детектора іонізуючих випромінювань (лічильника) при стабільних зовнішніх умовах. Зовнішні умови і кількість вимірювань встановлюються викладачем.

3. За формулами (25), (28), (29), (30) визначити вибіркові середні, дисперсію, асиметрію і ексцес виборки. Порівняти їх з теоретичними значеннями всіх величин для пуасонівського і нормального розподілів. Зробити висновки.

4. Розділити весь інтервал значень відліків детектора на невеликі інтервали і обчислити відносну частоту попадання відліків в кожен з інтервалів Р(і). Побудувати залежність Р(і) від номера інтервалу (гістограму). Відмітити на гістограмі точку, в яку попадає вибіркове середнє  .

5. Задавшись довільним початковим номером виміру і числом елементів з великої виборки, вибрати малу. Визначити половину довірчого інтервалу (випадкову похибку)   за розподілом Стьюдента (34) і з такою ж надійністю похибку (33) за класичною методикою. Порівняти ці дві похибки і зробити висновки.

6. Користуючись критерієм Пірсона, перевірити гіпотезу про розподіл відліків детектора за законом Пуасона і нормальним законом. 

7. Поділити велику виборку на малі виборки з числом елементів   і провести дисперсійний аналіз. Зробити висновок про стабільність роботи приладу.

 

Контрольні запитання

 

1. Яким статистичним законом описується число радіоактивних розпадів за певний час? Запишіть і поясніть його.

2. Яким статистичним законом описується число імпульсів детектора за певний час?

3. Які основні допущення приймаються при теоретичному обгрунтуванні закону Пуасона?

4. Записати і пояснити статистичний закон нормального розподілу випадкової величини.

5. Який зв’язок існує між законом розподілу Пуасона і нормальним?

6. Що таке математичне сподівання випадкової величини і дисперсія? Чому дорівнює математичне сподівання і дисперсія випадкової величини, розподіленої за законом Пуасона?

7. Нарисувати і пояснити графіки законів розподілу Пуасона і нормального.

8. Що таке асиметрія і ексцес розподілу? Що вони показують? Чому дорівнюють асиметрія і ексцес для розподілів Пуасона і нормального?

9. Що таке генеральна сукупність випадкової величини і виборка?

10. Як будується гістограма виборки?

11. Чому дорівнюють вибіркове середнє і вибіркова дисперсія? Як зв’язана дисперсія вибіркового середнього з дисперсією самої випадкової величини?

12. Що таке вибіркові асиметрія і ексцес?

13. В чому полягає стійкість розподілів Пуасона і нормального? Яке значення цієї властивості розподілів для практики?

14. Як знаходиться довірчий інтервал і випадкова похибка випадкової величини, розподіленої за нормальним законом (при відомій і невідомій дисперсії)?

15. У якому випадку вибіркове середнє випадкової величини, розподіленої за законом Пуасона, має нормальний розподіл?

16. В чому полягає центральна гранична теорема теорії імовірностей (Ліндеберга-Леві)?

17. Як проводиться перевірка виборки на виконання закону розподілу Пуасона або нормального? Як використовується для такої перевірки критерій Пірсона?

18. Для чого і як проводиться дисперсійний аналіз? Які величини необхідно визначати при проведенні такого аналізу?

 

Література

 

1. Г.Корн и Т Корн. Справочник по математике.–М.: Наука, 1968.–720с.

2. О.Н.Касандрова, В.В.Лебедев. Обработка результатов наблюдений.–М.: Наука, 1970.–104с.

3. А.И.Абрамов, Ю.А.Казанский, Е.С.Матусевич. Основы экспериментальных методов ядерной физики.–М.: Энергоатомиздат, 1985.–485с.

 

1. Лабораторна робота № 1. Вивчення дозиметричних величин і вимірю- вання доз 3

2. Лабораторна робота № 2. Вивчення взаємодії  -випромінювання з речо- виною і оцінка максимальної енергії  -спектру 12

3. Лабораторна робота № 3. Вивчення сцинтиляційного гама-спектрометра і якісний гама-спектральний аналіз 23

4. Лабораторна робота № 9. Вивчення статистики відліків детектора іонізуючих випромінювань 35