Аксіоми, інтуїція, домовленість в науковому дослідженні

Як вже зазначалось у попереднiх главах, на початку ХХ столiття гостра полемiка розгорнулась навколо питання: звiдки математика бере свiй основний змiст? Багато вчених, вiдкидаючи гiпотезу Блеза Паскаля про визначальну роль iнтуїцiї i наочних споглядань простих iстин для становлення математики, категорично стверджували, що математичне знання виводиться чисто логiчним шляхом.

Наприкiнцi ХIХ-го та на початку ХХ-го столiття складається вчення логiцизму, яке зводило всю математику до логiки. У цей же перiод складається й математична логiка.

Iталiйський математик Пеано в 5-ти томах свого «Математичного формуляру» дав коментований виклад математики мовою логiчних дiй при допомозi розроблених ним спецiальних позначень. У цьому ж напрямку працювали нiмецькi вченi Фреге i Дедекiнд, британцi Рассел i Уайтхед. З розвитком математичної логiки противники вчення про «iнтуїцiю як основоположення математики» отримали (окрiм наявних доказiв недостовiрностi, посилань на наочнiсть) ще одне могутнє знаряддя, яке, як їм здавалося, дає можливiсть повнiстю i цiлком вилучити з математичного пiзнання iдею «iнтуїцiї».

У 1901 роцi Рассел написав статтю «Найновiшi роботи про початки математики». Трохи пiзнiше виходить знаменита «Principia Mathematica» Рассела i Уайтхеда. Невдовзi французький вчений Кутюра опублiкував декiлька статей, в яких дав всебiчну оцiнку та детальний аналiз досягнень Рассела i Пеано. Всi цi дослiдження й склали теоретичний фундамент логiцизму.

Логiцисти вирiшили повнiстю вилучити з математики iнтуїцiю у всiх її видах. З їх точки зору, багатолiтня заочна суперечка мiж Ляйбнiцем та Кантом, тобто суперечка мiж логiкою та iнтуїцiєї в математицi, завдяки працям Пеано i Рассела є раз i назавжди вирiшеною на користь логiки. В цьому вiдношеннi найкращою iлюстрацiєю слугує такий вислiв Рассела: iнтуїтивнi здiбностi «краще розвинутi у дiтей, анiж у дорослих, у собак їх, мабуть, бiльше, чим коли-небудь було в людей. Але хто в цих фактах побачив би рекомендацiю для iнтуїцiї, повинен був би зробити з них висновок i знову бiгати дикуном в лiсах, яскраво розмальовуватись i харчуватись акридамом i диким медом» [2. -с. 12].

Тому не дивно, що логiцисти з погордою вiдкидали саму думку про можливiсть застосування iнтуїцiонiзму в математицi. Вся математика, з їх погляду, може бути виведена з декiлькох понять, що самовизначаються, i речень, що не доводяться; цi поняття i речення закладаються в основу логiки.

У той же час, коли-б здавалося, що поняття «iнтуїцiя» остаточно буде викинутим iз математики, Пуанкаре був фактично єдиним з європейських учених, хто наважився на критику програми логiцизму. Знаходячись практично наодинцi, вiн не лише захистив iнтуїцiю, а ще й передбачив крах логiцизму у час його найбiльшого розквiту, коли, за словами Рассела, «великi трiумфи пробуджували великi надiї».

У питаннi про природу математичного знання i природу математики Пуанкаре виявився втягнутим в тривалу полемiку з британськими та французькими прихильниками логiцизму (Расселом, Уайтхедом, Кутюра).

До оцiнки логiцизму Пуанкаре пiдходить диференцiйовано. На його думку, символiчна логiка, що розвивається логiцистами, «багатша за класичну, чисельнiсть символiв збiльшилась, вони дають змогу будувати рiзноманiтнi комбiнацiї вже в необмеженiй кiлькостi»[3. -с. 21]. Безсумнiвну принадливiсть логiчних визначень Пуанкаре вбачає у тому, що вони забезпечують строгiсть, якої ранiше бракувало математицi, котра приймала свої основнi положення без належного обгрунтування.

Але висунуту логiцистами програму побудови математики, i насамперед її основи – арифметики, за допомогою виключно одної лише логiки, Пуанкаре вважає неприйнятною. На його думку, «чиста логiка завжди приводила б нас лише до тавтологiї i вона не могла б створити нiчого нового» [3. -с. 21].

Пуанкаре висуває наступнi принциповi заперечення логiцизму: новi результати в математицi не можна отримати лише при допомозi логiки – потрiбна ще й iнтуїцiя; доведення вже отриманих математичних iстин неможливе без звернення до iнтуїцiї; символiка логiцистiв являє собою кайдани для математичної творчостi.

Загальний пiдсумок цих заперечень – неможливiсть зведення математики до логiки i необхiднiсть визнати iнтуїцiю за одне з основоположень математики. Пуанкаре не обмежився лише критикою логiцистiв, вiн розробив досить детальне вчення про iнтуїцiю.

Таким чином, не заперечуючи тiєї ролi, яку вiдiграє логiчне виведення в математичнiй творчостi, Пуанкаре водночас вважає, що однiєю лише логiкою математика аж нiяк не вичерпується. Тобто необхiдним є ще один вид творчостi, який безапеляцiйно заперечували логiцисти, а саме – iнтуїцiя. Логiка може лише розгортати, розкривати те знання, яке iз самого початку закладене у вихiдних передумовах: «Доведення, що грунтується по-справжньому на принципах аналiтичної логiки, повинно складатись з низки речень; однi з них, що слугують засновками, будуть представляти тотожностi або визначення, iншi – виводитимуться з перших крок за кроком, але, хоча зв'язок мiж кожним реченням i наступним помiчається безпосередньо, не можна буде вiдразу ж побачити, як здiйснився перехiд вiд першого речення до останнього, i з'явиться спокуса розглядати його як нову iстину. Але якщо послiдовно замiнювати рiзнi вирази, що в ньому фiгурують, на їх визначення i якщо продовжувати цю операцiю до тих пiр, поки це можливо, то пiд кiнець залишаться лише тотожностi, так що все зведеться до однiєї величезної тавтологiї. Отже, логiка, якщо вона не заплiднена iнтуїцiєю, залишається безплiдною» [3.