Аксіоми, інтуїція, домовленість в науковому дослідженні

Вiдкидаючи логiцизм, Пуанкаре у питаннi про природу арифметики, яка з другої половини ХIХ столiття розглядалась у якостi основи всiєї математики, запропонував свiй варiант, що грунтувався на кантiвських iдеях. У основоположному для арифметики принципi повної iндукцiї Пуанкаре вбачав апрiорне синтетичне судження, яке являє собою «тiльки доказ могутностi нашого розуму, впевненого у своїй здатностi, спроможностi уявляти собi ту чи iншу дiю такою, що повторюється до нескiнченностi, оскiльки вона виявилась можливою хоча б раз»[3. -с. 166].

Боротьба Пуанкаре проти логiцизму мала ще один наслiдок. Вона була спрямована проти методологiї iндуктивiзму, який багато в чому базувався на аналiтичних iдеях логiцизму. Виступи Пуанкаре з критикою логiцизму, пiдтриманi Бутру, Мейєрсоном, Бреншвiгом мали визначне значення, оскiльки поставили перепону на шляху розповсюдження емпiризму у французькiй фiлософiї.

З критикою логiцизму був пов'язаний ще один аспект творчостi Пуанкаре. Це стосується канторової теорiї множин.

Як i багато iнших математикiв, Пуанкаре вважав несуперечливiсть найвищим критерiєм повноцiнностi математичної теорiї. Але на межi ХIХ i ХХ столiть у теорiї множин виявились суперечностi, до яких приводять цiлком вiрнi у логiчному вiдношеннi мiркування. Саме цi невирiшуванi парадокси й вiдвернули Пуанкаре вiд теорiї множин. Вiн ставив пiд сумнiв її право на iснування, поскiльки окремi її положення суперечили одне одному. Тому вiн виступив: проти застосовування «трансфiнiтних чисел», введених Кантором; з критикою аксiоматики Цермело; проти теорiї типiв Рассела; критикував непредикативнi визначення в математицi. На думку Пуанкаре, аксiома Цермело (1904 р.) являла собою апрiорне синтетичне судження, а тому всi спроби Рассела довести цю аксiому вiн вважав безнадiйними.

Пуанкаре також був iнiцiатором сучасної постановки проблеми непредикативностi. В якостi непредикативних означень вiн розглядав визначення, що побудованi за принципом зачарованого кола – коли мiркування, що веде до бажаного результату, само спирається на те, що з його допомогою треба визначити. Джерелом непредикативностi i всiх суперечностей у теорiї множин Пуанкаре вважав основне поняття цiєї теорiї – актуальну нескiнченнiсть. Тому, на його думку, це поняття слiд виключити з математичного вжитку, i це дасть змогу вийти з парадоксiв теорiї множин.

Такi самi зауваження можна навести i стосовно «герменевтичного кола», коли замiсть аксiоматичного введення роблять спробу предикацiї, тим самим потрапляючи у «зачароване коло» нескiнченого регресу предикатiв.

Перший такий парадокс виявив у 1897 роцi iталiйський математик Буралi-Фортi. Пiзнiше, у 1899 роцi, ще одна антиномiя була виявлена Кантором. Тодi цi парадокси ще не усвiдомлювалися фундаментально. Але нищiвного удару по теорiї множин завдало вiдкриття парадоксу Рассела, оскiльки вiн витiкав прямо з визначення множини, даного Кантором. Невдовзi були вiдкритi парадокс Рiшара (1905 р.), парадокс Греллiнга (1908 р.) та iншi. Виявилось, що в теорiї множин має мiсце навiть парадокс «брехун», що був вiдомий ще давнiм грекам.

Справа ускладнювалась тим, що теорiя множин на той час складала пiдгрунтя практично всiєї математики. Виявлення парадоксiв показало, що фундамент цього пiдгрунтя сам є досить хитким. Самi основи математики й логiки виявились невирiшуваними суперечностями. Вiдбувся крах, здавалося б, непохитних понять та уявлень – тобто, iнакше кажучи, криза пiдвалин математики.

Ця криза рiзко загостриила боротьбу мiж такими течiями, як логiцизм, iнтуїцiонiзм i формалiзм. Виступи Пуанкаре проти логiцизму i припустимостi актуальної нескiнченностi, розробка ним вчення про математичну iнтуїцiю були одним з джерел виникнення iнтуїцiонiзму як одного з напрямкiв у обгрунтуваннi математики. Для прихильникiв iнтуїцiонiзму характерним є вiдкидання абстракцiї актуальної нескiнченностi i «чистих» теорем iснування, а також неприйняття необмеженого застосування закону виключеного третього.

Конвенцiональна позицiя Пуанкаре може розглядатись як вельми близька до математичного iнтуїцiонiзму. Близькiсть iдей Пуанкаре i основоположника iнтуїцiонiзму Брауера багато дослiдникiв вiдзначають навiть у назвах поглядiв Пуанкаре: Френкель i Бар-Хiллел визначають його позицiю як раннiй iнтуїцiонiзм, Бет – як напiвiнтуїцiонiзм. Сам же Брауер охарактеризував Пуанкаре як одного з керiвникiв передiнтуїцiонiстської школи.

При гносеологiчнiй характеристицi геометрiї Пуанкаре висловив ряд положень, на пiдставi котрих його фiлософiю науки почали iменувати конвенцiоналiзмом. Вiн стверджував, що «геометричнi аксiоми не являють собою нi математичних суджень a priori, анi актiв досвiду. Вони є конвенцiями... «[3. -с. 40]. Iнше формулювання Пуанкаре пiдкреслює довiльнiсть i суб'єктивнiсть конвенцiй: «Цi конвенцiї є витвором вiльної творчостi нашого розуму, котрий в деякiй галузi не знає жодних перешкод. Тут вiн може стверджувати, оскiльки вiн же i робить собi приписи... Цi приписи мають значення для нашого пiзнання, яке без них було б неможливим, але вони не мають значення для природи»[3. -с. 41]. Iншi характеристики геометричних аксiом-конвенцiй наближують позицiю Пуанкаре до прагматизму: «Нiяка геометрична система не може бути вiрнiшою за iншу; вона може бути лише бiльш зручною»[3. -с. 53]. Всi цi характеристики геометричних аксiом, якi вiдносяться Пуанкаре також i до фундаментальних положень фiзики, повнiстю вiдповiдають загальноприйнятому визначенню сутностi конвенцiоналiзму.

Однак, для точного визначення позицiй Пуанкаре необхiдно з'ясувати, що саме вiн розумiв пiд конвенцiями, який смисл вкладав у поняття «зручнiсть» i чи ототожнював «вiльну творчiсть нашого розуму» при виробленнi конвенцiй з їх повною довiльнiстю.

Розглядаючи геометричнi аксiоми як продукт вiльної творчостi розуму, Пуанкаре пiдкреслював, що науково значущi конвенцiї геометрiї перебувають у певнiй вiдповiдностi з властивостями тiєї дiйсностi, до якої вони застосовуються. Вiн писав, що «якщо б перенести нас у деякий iнший свiт (який я називаю свiтом неевклiдовим), то ми змушенi були б засвоїти собi й iншi конвенцiї» [3. -с. 55]. Одним з перших Пуанкаре поставив питання про те, що рiзнi неевклiдовi геометрiї (котрi багато кому здавалися такими, що не мають жодного вiдношення до об'єктивної реальностi) володiють фiзичним смислом для рiзних типiв реальних поверхонь. Трактування «зручностi», що дається при цьому, є цiлком протилежною уявленню про довiльнiсть геометричних аксiом та систем, що базуються на них: «Евклiдова геометрiя зручнiша тим, що вона досить точно вiдповiдає властивостям природних твердих тiл – тiл, до яких наближаються за властивостями члени нашого органiзму i нашi очi i з яких ми будуємо нашi вимiрювальнi прилади» [3. -с. 60]. З точки зору Пуанкаре, евклiдова геометрiя базується не на абсолютно довiльних припущеннях, а на припущеннях, якi являють собою наближенi вiрнi вiдбитки властивостей свiту, в якому живе i дiє людина. Пуанкаре передбачав вибiр на користь геометрiї Евклiда, водночас стверджуючи, що можна в принципi користуватись i будь-якою iншою внутрiшньо несуперечливою геометрiєю. Але цi загальнi мiркування залишились непiдкрiпленими конкретними фiзичними описами явищ на основi рiзних геометрiй. Тому тривалий час вченi, не приймаючи геометричного конвенцiоналiзму Пуанкаре, намагались його подолати. I лише в останнiй час зникли сумнiви у справедливостi цього висновку про можливiсть опису одних i тих самих явищ iз застосуванням рiзних геометрiй.

Чому ж, в такому випадку, Пуанкаре називає геометричнi аксiоми конвенцiями, тобто, хоча б у обмеженому розумiннi, умовними положеннями, що мають характер угоди мiж вченими? Це пояснюється насамперед тим, що створення неевклiдових геометрiй поставило вчених перед фактом iснування декiлькох вiдмiнних систем аксiом, що не мають характерної очевидностi, якою володiють аксiоми евклiдової геометрiї; формулювання цих аксiом виявилось результатом умовиводiв, а не безпосереднього угледiння. Властива для наївного природничонаукового матерiалiзму гносеологiчна концепцiя дзеркально-прямого i безпосереднього вiдбиття об'єктивної реальностi виявилась за цих умов повнiстю нездатною пояснити процес геометричної творчостi. Неминуча вiдмова вiд неї викликала враження, що у галузi геометрiї вiдбиття цiєї реальностi взагалi не має мiсця. Проте, Пуанкаре лише частково пiдтримує таку точку зору. Вiн вважає, що умовнiсть в повнiй мiрi панує лише у момент формулювання тих чи iнших геометричних аксiом, якi встановлюються вченим без того, щоб вiн безпосередньо угледiв їх в навколишньому свiтi; в цьому розумiннi аксiоми й iменуються конвенцiями. Але наукова значущiсть цих аксiом залежить, на думку Пуанкаре, вiд того, чи вiдповiдають вони якiй-небудь фiзичнiй реальностi, що вже вiдома людинi, або тiй, iснування котрої лише припускається. Iнакше кажучи, результат геометричної творчостi отримує практичне застосування в тiй мiрi, в якiй у ньому вiдображено взаємодiю iз реальнiстю. Пуанкаре впевнений, що таке вiдображення є не лише можливим, але дiйсно має мiсце, наприклад, у евклiдовiй геометрiї. З точки зору фiлософського конвенцiоналiзму, таке твердження є неправомiрним, а тому зрозумiло, що розумiння геометрiї Пуанкаре iстотно вiдрiзняється вiд точки зору фiлософського конвенцiоналiзму. Його конвернцiоналiзм – методологiчний.

 

 

1. Конт О. Дух положительной философии. -СПб., 1910.

2. Уэвелл В. История индуктивных наук в 3-х тт. -Т. 1. -СПб., 1897.

3. Тюхтин В. С. Диалектико-материалистический принцип отражения и творческий характер познания // Творческая природа научного познания. -М., 1984. -с. 15-26.

4. Спенсер Г. Происхождение науки. -СПб., 1898.

5. Ебер М. Прагматизм, дослiдження його рiзних форм. -К., 1995.

6. Джемс В. Прагматизм. -К., 1995.

7. Дьюи Дж. Психология и педагогика мышления. – М., 1915.

8. Карнап Р. Философские основания физики. Введение в философию науки. – М., 1971.

9. Carnap R. The Methodological Character of Theoretical Concepts//Minnesota Studies in the Philosophy of Science. -Minneapolis, 1956.

10. Карнап Р. Значение и необходимость. – М., 1959.