Асимптотичні методи в задачах імовірнісної комбінаторики

У §2. 5 вивчається нова схема розміщення комплектів з випадковими рівнями, що задаються на ячейках іншою незалежною схемою розміщення комплектів. Нехай   – число частинок, що опинилися в  -й ячейці після рівноймовірного незалежного розміщення у відповідності зі схемою, що описана в §2. 1,   комплектів частинок по   частинок у кожному в   ячейках. Розмістимо в цих ячейках рівноймовірно і незалежно один від одного та від попередніх   комплектів   інших комплектів розміром   кожний. Будемо розглядати  , як випадкові рівні, що задані на ячейках. Позначимо   випадкову величину, рівну числу ячейок  , що містять не більше   частинок кожна з останніх   комплектів;  . За допомогою методу знаходження факторіальних моментів, наведеного в §2. 1, у даному параграфі виводиться скінченна формула для факторіальних моментів  , яка дає можливість провести асимптотичний аналіз моментів. Зокрема доведена наступна теорема.

Теорема 2. 5. 2. Якщо при     і   обмежені, а    , то розподіл випадкової величини   збігається до розподілу Пуассона з параметром  .

Теорема 2. 5. 2 описує всі випадки граничних розподілів Пуассона випадкових величин   та   при   і обмежених  . Причому   необхідна умова для пуассоновості. Гауссівські граничні теореми в цій схемі розміщення доведені у §3. 4 як наслідок функціональної граничної теореми.

У наступному §2. 6 розглядається схема розміщення по ячейках випадкового числа частинок   таким чином, що кожна з них незалежно від інших і від випадкової величини   з ймовірністю   попадає в будь-яку із  ячейок. Випадкова невід'ємна цілочислова величина   асимптотично при   розподілена за нормальним законом з математичним сподіванням   та дисперсією  . Вивчається асимптотичний при   розподіл випадкових величин   де   – число частинок у  -й ячейці після розміщення усіх   частинок. У теоремах 2. 6. 1-2. 6. 5 поширюються відповідні результати І. І. Вікторової, Б. А. Севастьянова, Г. І. Івченка, В. Ф. Колчина щодо граничного розподілу максимального та мінімального заповнення при рівноймовірному розміщенні невипадкового числа частинок на схеми з розміщенням випадкового числа частинок.

Основні результати §2. 7 стосуються з'ясування асимптотичних характеристик розподілів часу очікування в задачах про розміщення частинок комплектами. З використанням результатів §2. 1 і 2. 2 доводиться, що граничний розподіл уведеної у §2. 1 випадкової величини   при   або   зосереджений в одній чи двох точках в залежності від асимптотичної поведінки параметра  .

Виділимо і зазначимо в рівноймовірній схемі розміщення частинок комплектами будь-які   ячейок,  . Нехай   – випадкова величина, що дорівнює мінімальному числу комплектів, після розміщення яких зазначені   ячейок виявляться непустими,   – число пустих ячейок серед виділених  .

У теоремах 2. 7. 4 – 2. 7. 13 та в наслідках 2. 7. 3 – 2. 7. 6 сформульовані результати асимптотичного дослідження розподілів випадкових величин   і   при різноманітних співвідношеннях параметрів  ,   і   схеми розміщення. Граничними розподілами випадкової величини  , зокрема, є експоненціальний розподіл, двічі експоненціальний, Пуассона, двоточковий та ін. Зокрема, справедливі такі твердження.

Теорема 2. 7. 6. Якщо  ,    , то для довільного    .

В умовах теореми 2. 7. 6  , де   – константа Ейлера,  .

Теорема 2. 7. 10. Якщо  ,  ,  , то  .

Розділ 3. Слабка збіжність векторних випадкових процесів у схемах розміщення частинок до гауссівських дифузійних процесів. Слабка збіжність у схемах розміщення одновимірних випадкових процесів у просторі неперервних функцій вивчалась Б. А. Севастьяновим, Ю. В. Болотніковим, Г. І. Івченком, В. В. Льовиним (класичними методами), Р. Ш. Ліпцером, А. М. Ширяєвим, Є. В. Хмаладзе (за допомогою граничної теореми для мартингалів) та іншими. У третьому розділі пропонується метод дослідження слабкої збіжності векторних випадкових процесів та доведення функціональних граничних теорем в  -вимірному просторі функцій без розриву другого роду з топологією Скорохода, що базується на загальних граничних теоремах для послідовності серій випадкових векторів і теорії стохастичних диференціальних рівнянь.

У §3. 1 наводяться необхідні результати з теорії випадкових процесів і теорії стохастичних диференціальних рівнянь та описується загальна методика доведення гауссівських функціональних граничних теорем у схемах розміщення. Спочатку за допомогою загальних граничних теорем для послідовності серій випадкових векторів доводиться, що послідовність побудованих векторних випадкових процесів слабко збігається у просторі функцій без розриву другого роду з топологією Скорохода до розв'язків деяких диференціальних рівнянь, потім знаходяться розв'язки відповідних диференціальних рівнянь та їх характеристики.

У §3. 2-3. 6 запропонована методика застосовується для доведення граничних теорем про слабку збіжність векторних випадкових процесів двох типів, побудованих за різноманітними схемами розміщення частинок по ячейках. У процесах першого типу хід часу пропорційний числу розміщених частинок або комплектів, у процесах другого типу – частині занумерованих від 1 до   ячейок.

У схемах розміщення частинок комплектами вводяться такі випадкові процеси:

  – число ячейок, що містять рівно по   частинок після розміщення   комплектів по