Асимптотичні методи в задачах імовірнісної комбінаторики

При побудові першого тесту по перевірці тотожності   і  , коли зафіксовано деякий параметр  , вводяться дві ймовірнісні характеристики алгоритму:   – ймовірність того, що у випадку підтвердження гіпотези тотожності ризик при використанні функції   замість функції   не перевищує   ( ), де ризик – це ймовірність того, що при рівноймовірно вибраних входах   обчислені значення функцій при фіксованому параметрі   не співпадають:  . Основна операція тестування полягає в порівнянні векторів-значень функцій, що розглядаються як «чорні ящики». Наводиться формула для числа таких операцій в залежності від довірчої ймовірності   та ймовірності ризику  . У пункті 5. 6. 2 описується також статистичний тест перевірки тотожності функцій   і   при не фіксованому параметрі  .

У додатку до дисертаційної роботи наведено основні положення розробленого методу умовної оптимізації складних багатоекстремальних функцій від багатьох змінних, який був застосований до розв'язання задачі синтезу багатошарових інтерференційних оптичних покриттів з заданими властивостями. Однією з особливостей методу є вибір початкових наближень для застосування на різних етапах ієрархічного пошуку оптимуму спеціальних варіантів методів спуску зі штрафними функціями. Вибір початкових точок здійснювався за допомогою статистичного моделювання схем випадкового розміщення частинок по ячейках.

На основі описаного методу був знайдений цілий ряд різноманітних оптичних покриттів із заданими оптимальними характеристиками: з похідною  , близькою до нуля,   та високими коефіцієнтами відбиття; з мінімальною чутливістю до впливу температури або похибкам у нанесенні шарів,   та високими коефіцієнтами відбиття; з   близьким до   та оптимізацією інших оптичних характеристик; для різних показників заломлення та товщин шарів діелектричних покриттів. Знайдені апроксимуючі формули, що дозволяють синтезувати інтерференційні покриття з оптимальними оптичними характеристиками при різних початкових даних.

 

 

Загальним результатом даного дослідження є розробка нових ймовірнісно-комбінаторних методів, алгоритмів і теоретичних положень, що використані для розв'язання широкого класу задач теорії випадкових розміщень, задач визначення ймовірнісних характеристик дискретних моделей. Розроблено математичний апарат для дослідження дискретних схем, комбінаторно-ймовірнісних алгоритмів та розв'язання прикладних задач, що використовують поняття та ідеологію теорії випадкових розміщень.

Проведено асимптотичне дослідження різноманітних схем розміщення частинок, отримані результати щодо асимптотичної поведінки мішаних моментів випадкових величин, доведено ряд граничних теорем для розподілів випадкових величин, сумісних розподілів тощо.

Запропоновано єдиний підхід до дослідження сумісного розподілу випадкових величин у схемах розміщення і доведення функціональних граничних теорем. Розроблено загальну чітку методику асимптотичного дослідження збіжності векторних випадкових процесів у задачах розміщення.

Доведено запропонованим методом слабку збіжність векторних випадкових процесів, побудованих за різними схемами розміщення частинок (із двома типами спрямованості часу), до гауссівских дифузійних процесів і одержано як наслідки багатомірні граничні теореми у відповідних схемах розміщення.

За допомогою розробленої теорії досліджено ряд дискретних моделей комбінаторно-ймовірнісними (скінченними та асимптотичними) методами та розв'язані деякі актуальні прикладні задачі.

Побудовано та проаналізовано комбінаторно-ймовірнісні алгоритми для розв'язання ряду прикладних задач: декодування, оптимізації, статистичного визначення характеристик тощо.

Таким чином, в дисертації розв'язана актуальна науково-прикладна проблема в області асимптотичного дослідження широкого класу задач теорії випадкових розміщень та їх застосувань до вивчення комбінаторно-ймовірнісних моделей та алгоритмів.

 

 

Коваленко И. Н., Левитская А. А., Савчук М. Н. Избранные главы вероятностной комбинаторики. – Киев: Наук. думка, 1986. – 224с.

Савчук М. Н. Предельные теоремы в схеме размещения частиц комплектами со случайными уровнями // Математические методы анализа и оптимизации сложных систем, функционирующих в условиях неопределенности. – Киев: Ин-т кибернетики им. В. М. Глушкова АН УССР, 1986. – С. 40-46.

Савчук М. Н. Сходимость многомерных случайных процессов, связанных с разделимыми статистиками в схемах размещения, к гауссовским диффузионным процессам // Анализ стохастических систем методами исследования операций и теорем надежности. – Киев: Ин-т кибернетики им. В. М. Глушкова АН УССР, 1987. – С. 43-47.

Савчук М. Н. Использование коэффициента готовности для оценки эффективности дежурящих систем // Математические методы анализа и оптимизации сложных систем, функционирующих в условиях неопределенности. – Киев: Ин-т кибернетики им. В. М. Глушкова АН УССР, 1989. – С. 52-59.

Савчук М. Н. О предельных распределениях максимальной и минимальной частот в схеме размещения случайного числа частиц по ячейкам // Математические методы моделирования и системного анализа в условиях неполной информации. – Киев: Ин-т кибернетики им. В. М. Глушкова АН УССР, 1991. – С. 9-12.

Савчук М. Н. Предельное поведение случайного времени ожидания до заполнения заданного подмножества ячеек в схеме равновероятного размещения частиц комплектами // Модели и методы исследования операций, теории риска и надежности. – Киев: Ин-т кибернетики им. В. М. Глушкова НАНУ, 1992. – С. 3-10.

Savchuk M. Some limiting theorems in ball batch allocation scheme with random levels defined by an another allocation scheme // Probabilistic Methods