Методичні вказівки до виконання самостійної роботи з теоретичної механіки (розділ “Кінематика”) студентами денної форми навчання за напрямами: 0902 Інженерна механіка, 0921 Будівництво, 0926 Водні ресурси

Рис. 3.3

 

ПРИКЛАД 3.1. Для заданого положення механізму, яке визначається кутами α, β, γ, φ (рис. 3.4,а), визначити швидкості точок В, С, К та кутові швидкості всіх його ланок, якщо прямокутний трикутник ОАД (один з кутів якого 30о ) обертається за годинниковою стрілкою зі сталою кутовою швидкістю ω =  6 с-1  і приводить в рух решту ланок механізму. Розрахунки провести для ОА = 0,8 м, l1 = 1 м, l2 = 1.5 м, R = 0,5 м, α = 30о, β = 120о, 

γ = 60о, φ = 90о. Побудову механізму починати з ланки, напрям якої визначається кутом α; кути відкладати в напрямках зазначених на схемі.

  Розв'язання починаємо з побудови заданого положення механізму ( рис. 3.4,б) у відповідності з умовою задачі. Після цього робимо кінематичний аналіз руху окремих ланок механізму : трикутник ОАД обертається навколо осі, що проходить через точку О; ланки АС, МС та колесо рухаються плоскопаралельно і кожна в даний момент часу має свій миттєвий центр швидкостей ( МЦШ ); повзун В рухається поступально.

 

Рис. 3.4

Виходячи з умови задачі, знаходимо швидкість точки А, враховуючи ( 2.4 ):

VA = ω •ОА = 6 • 0,8 = 4,8 ( м/с ).

Вектор швидкості   напрямлений перпендикулярно до ОА в бік обертання ( рис. 3.4,а ).

Для знаходження МЦШ Р для ланки АС необхідно показати напрям швидкості точки С : віддаль від центра колеса до горизонтальної поверхні стола і точка С рухається праворуч по прямій ( рис. 3.4,б ). Проводимо перпендикуляри до   та   через точки їх прикладаня і знаходимо МЦШ  Р ( аналогічно рис. 3.3,а ); маємо ( 3.4 ) :

АС = VA / АР = VМ / МР = VС / СР,

де АР = СР = АС = 1,5 м,   бо ∆ АРС рівносторонній,

МР = АР sin60о  =  1,5 • 0,866 = 1,299 ( м ).

  Тепер знаходимо :

          ωAC = VA/AP = 4,8 / 1,5 = 3,2 ( с-1 );

          VC = VA = 4,8 м/с,    бо     СР = АР;

          VM = ωAC • МР = 3,2 • 1,299 =  4,16 ( м/с ).

Напрямляємо ωAC : стаємо в МЦШ Р, дивимось на   і бачимо, що миттєве обертання ланки  АС навколо Р відбувається проти годинникової стрілки. Вектор  ┴ МР і напрямлений в бік ωAC.

  Аналогічно розглядаємо рух ланки АВ : напрям швидкості повзуна В обумовлений вертикальними напрямними і МЦШ Р1 для ланки МВ лежить на перетині перпендикулярів до   та   ( рис. 3.4,б ). Маємо ( 3.4 ) :

ωBM = VM / MP1 = VВ / ВР1 ,

де ВР1 = МВ tg 30о = 1 • 0,577 = 0,577 ( м ),  

МР1 = ВР1 / sin30o = 0,577 / 0,5 = 1,154 ( м ). Обчислимо :

           ωBM = VM / МР1 = 4,16 / 1,154 = 3,60 ( с-1 )

              VВ = ωBM • ВР1 = 3,60 • 0,577 = 2,08 ( м/с ).

Розглянемо плоский рух колеса. Точка дотику Р2 колеса до нерухомої поверхні ( рис.3.4,б ) є МЦШ для колеса – порівняйте з випадком на (рис.3.3,б ). Через те, що МЦШ Р2 є миттєвим центром обертання для колеса, маємо ( 3.4 ) :

                ω2 = VC / CP2 = VK / KP2 ,

але СР2 = R, тому ω2 = 4,8 / 0,4 = 12 ( с-1 )  і  

VК = ω2 • КР2 = ω2 •  R  = 12 • 0,4  = 6,79 ( м/с ); 

  ┴ КР2 і напрямлене в бік ω2.

Відповідь : VB = 2,08 м/с;  VC  =  4,8 м/с;  VK  =  6,79 м/с; 

            ωAC =  3,2 с-1;   ωBM = 3,6 с-1;   ω2  = 12 с-1.   

3.4. Під час визначення прискорень плоскої фігури виходять із закону розподілу прискорень при плоскому русі [2, 3]:

                                             (3.6) 

де А - полюс; ; вектор  напрямлений від В до А , вектор   перпендикулярний до   і напрямлений в бік AB . Якщо полюс А рухається непрямолінійно, то   ; нарешті, коли точка В рухається по кривій, то     в (3.6).

Для знаходження невідомих прискорень векторну  рівність (3.6) проектують на осі координат X, У і розв'язують отриману систему рівнянь відносно невідомих.