Методичні вказівки до виконання самостійної роботи з теоретичної механіки (розділ “Кінематика”) студентами денної форми навчання за напрямами: 0902 Інженерна механіка, 0921 Будівництво, 0926 Водні ресурси

 

ПРИКЛАД 3.2. Кривошип ОА кривошипно-шатунного механізму (рис. 3.5, а) обертається навколо осі, що проходить через точку O, з кутовою швидкістю, яка змінюється за законом  =2 - t с -1 . Через t1 =1 с механізм займає положення, яке зображене на рис. 3.5, а. Визначити для цього положення швидкість і прискорення повзуна В та кутову швидкість і кутове прискорення шатуна АВ, якщо ОА = 0,5 м,  = 30° .

Розв'язання. Проводимо кінематичний аналіз руху окремих ланок механізму: кривошип ОА обертається навколо     осі,     що проходить через точку O; повзун    В    рухається поступально в вертикальних напрямних;   шатун  АВ рухається плоскопаралельно.

Визначаємо кутову швидкість   та   кутове прискорення кривошипа ОА для  заданого  положення     механізму        ( t = t1 = 1 с):   OA =  = 1 c -1 , OA =  = d / dt = - 1 c -2 , тобто кривошип у данний момент часу обертається сповільнено.

Знаходимо швидкість пальця А ( VA = ОА = 0,5 м/с) і напрямляємо її перпендикулярно до радіуса обертання ОА в бік обертання (рис. 3.5, б). Напрям швидкості повзуна В обумовлений вертикальними напрямними, тому   і МЦШ для шатуна АВ лежить у нескінченості (порівняйте випадок на рис. 3.3, в) і маємо (3.5):

AB = VA / AP = VA /  =0 ,  VB = VA =  0,5 м/с.

Таким чином, шатун АВ у даний момент часу рухається миттєво поступально; миттєва рівність нулю кутової швидкості AB  не дає права зробити хибний висновок, що і AB = 0 в цей момент часу, що підтвердимо подальшим розв'язанням.

Визначимо прискорення повзуна В за формулою (3.6) і врахуємо, що палець А, який прийнято за полюс, обертається разом з кривошипом:

 ,                                       (3.7)

де     м/с2;      ;

м/с2;      

Вектор   напрямлений від А до центра обертання О , вектор   лежить на одній прямій зі швидкістю   , протилежно їй напрямлений 

(OA 0 , OA 0  ) і перпендикулярний до    . Вектор   (рис. 3.5, б) зобразимо формально ( = 0), бо вектор   завжди перпендикулярний до  . Величина і напрям    невідомі, тому зображуємо його перпендикулярно до   в будь-який бік: знак відповіді підтвердить (+) або спростує (-) вибір напряму  . Вектор  лежить на одній прямій зі швидкістю  , зобразимо його протилежно до  , а відповідь підтвердить чи спростує наш вибір.

Вибираємо осі координат ХАY  (рис. 3.5, б) і проектуємо рівність (3.7) на ці осі:

 

звідси  (м/с2),

    (м/с2).

Знаки "+" вказують на те, що вектори  та   напрямлені на рис. 3.5, б правильно. Вектор   визначає напрям кутового прискорення AB: треба стати в точку А і подивитись на   (рис. 3.5, б). Визначаємо

величину AB:

AB =aBA / AB=aBA / 2AO =0,577 c –2

Відповідь:  для заданого положення механізму (рис. 3.5, а) повзун В рухається сповільнено і має швидкість VB = 0,5 м/с та прискорення               aB =0,212 м/с2 ; шатун АВ в цей момент часу має кутову швидкість AB = О  та кутове прискорення AB = 0,577 с-2.

 

 

ПРИКЛАД 3.3. Барабан С радіуса R = 0,4 м жорстко скріплений з котком D радіуса r = 0,3 м, який котиться без ковзання по нахиленій площині (рис. 3.6). Через блок Е перекинута нитка, яка намотана на барабан С; до кінця нитки прикріплено вантаж А. Визначити швидкості та прискорення точок В, Р і вантажу А для того моменту часу, коли швидкість і прискорення центра О дорівнюють V0  = 0,6 м/с, а0 = 0,3 м/с2.

Розв'язання. Система барабан-коток рухається плоскопаралельно (МЦШ для неї знаходиться в точці Р дотику котка D з нерухомою поверхнею - порівняй випадок на рис. 3.3, б); блок Е обертається навколо осі, що проходить через точку O1 ; вантаж А рухається поступально.

Після кінематичного аналізу рухів   окремих  ланок   системи, зображеної на рис. 3.6, переходимо до визначення швидкостей точок В, Р та А. Очевидно, що VP = 0, бо Р -МЦШ. Маємо (3.4):

кол= = V0 / OP=VB / BP=VМ / МP, таким чином,

    =V0 / OP=V0 /r = 2 c-1 ,  (м/с),

 (м/с),

VK = KP = (R + r) = 2  0,7 = 1,4  (м/с).

З рис. 3.6 видно, що VA = VK  = 1,4 м/с. Так як Р є миттєвим центром обертання, то   і   і напрямлені в бік обертання.

Визначимо аB за формулою (3.6), прийнявши за полюс центр О, бо для