Методичні вказівки до виконання самостійної роботи з теоретичної механіки (розділ “Кінематика”) студентами денної форми навчання за напрямами: 0902 Інженерна механіка, 0921 Будівництво, 0926 Водні ресурси

Відповідь:   м/с,   м/с2.

 

Рис. 4.3

 

ПРИКЛАД 4.2. Квадрат АВДК (рис. 4.3) обертається навколо осі О1 – О1 у відповідності з законом  = 3 t – t2  рад; одночасно по його діагоналі рухається точка М відповідно до рівняння OM =   м. Визначити абсолютні швидкість та прискорення точки М в момент часу

t = t1 = 1 c, якщо АВ = 1 м.

 

Розв'язання. Точка М виконує складний рух: переносний обертальний разом з квадратом АВДК   навколо осі О1 – О1 і відносний прямолінійний вздовж діагоналі АД  . Визначимо положення точки М у відносному русі в момент часу t1=1c:

OM =   (м).

Враховуючи, що АВДК – квадрат, приходимо до висновку, що точка М при t1=1c збігається з точкою Д:  , а АД = 2 ДО.

Визначимо а б с о л ю т н у   ш в и д к і с т ь   точки за формулою (4.1)

 ,

де  ,  Ve = e MK = (3t-2) MK,   e = de  / dt = 3 - 2t.

При t = t1 = 1 c  Vr = 1,05 м/с,  e = 1c-1, Ve = 1м/с. Вектор   напрямлений в бік збільшення Sr, а вектор   і напрямлений в бік обертання (рис. 4.3,б); таким чином   і в (4.6)   ; маємо:

  (м/с).

Визначимо   а б с о л ю т н е   п р и с к о ре н н я   точки М. При переносному обертальному та відносному прямолінійному рухах користуємось теоремою (4.4)

 ,                                          (4.10)

де    (м/с2); 

       (м/с2); 

       (м/с2); 

       (м/с2).

Зауважимо, що всі розрахунки для складових в (4.4) зроблено для t= t1=1c. Ми отримали, що Vr>0 та ar>0 при  t1 = 1c, а це означає, що вектор   напрямлений в той же бік, що і вектор   (рис.4.3,б); в той же момент часу Ve>0  і  , тому вектор   напрямлений протилежно до  ,тобто перпендикулярно до площини рисунка від нас. При обчисленні   враховано, що   напрямлений вздовж осі обертання Z1 (рис.4.3,б); таким чином між векторами  та   кут складає 45°. Вектор   напрямлений на рис. 4.3,б за правилом Жуковського (див. рис. 4.1).

Спроектуємо рівність (4.10) на осі рухомих координат X, Y, Z і проведемо обчислення для моменту часу t1=1c

;

;

 

і за формулою (4.3) маємо

 (м/с2).

Відповідь: точка М (рис. 4.3) в момент часу t = t 1 = 1 c  збігається з точкою Д квадрата АВДК і має в цей момент швидкість VM = 1,45 м/с та прискорення aM = 0,87 м/с2.

5. Додавання обертань твердого тіла навколо паралельних осей

Це питання займає особливе місце в темі, яка розглядає складний рух твердого тіла, бо додавання його обертань навколо паралельних осей реалізується в різних механізмах будівельних та меліоративних машин. Наприклад, механізм повороту баштового крана має планетарний редуктор з трьома передачами, який при малій масі і невеликих габаритах забезпечує передаточне число 258.

Задачі на цю тему розв'язуються методами плоского руху (див. розділ 3) або способом зупинки (спосіб Вілліса), коли мова йде про визначення кутових швидкостей різних ланок механізмів. Якщо ж необхідно знайти лінійні швидкості і прискорення окремих точок механізму, то використовують або теорію плоского руху (розділ 3), або теорію складного руху точки (розділ 4).

Розглянемо три приклади.

 

ПРИКЛАД 5.1. Редуктор швидкостей (рис. 5.1) складається з нерухомої шестірні 1, двох бігаючих шестерень (сателіта) 2 і 3 і шестірні 4, яка жорстко насаджена на ведений вал В. Осі шестерень 2 і 3 розташовані на кривошипі (водилі), який жорстко зв'язаний з ведучим валом А. Визначити кількість обертів за хвилину веденого вала В і шестерень редуктора, якщо ведучий вал робить nА = 1200 об/хв, а шестірні мають відповідно z1 = 180,     z2 = 60, z3 = 40, z4 = 80 зубців.

 

Розв'язання. Розв'яжемо задачу методом “зупинки”. Шестірні редуктора, який зображено на рис. 5.1 (“а” – схема редуктора, “б” – вид з боку ведучого вала А) беруть участь у відносному обертанні (по відношенню до кривошипа ДЕ) навколо власних осей і в переносному обертанні з кривошипом навколо його осі.

Для перетворення зазначеної передачі у просту зубчасту передачу необхідно зупинити кривошип разом з ведучим валом А. Надаємо подумки всім ланкам редуктора обертання з кутовою швидкістю А , яка за величиною дорівнює кутовій швидкості кривошипа, але напрямленій у протилежний бік. Тоді кривошип з валом А зупиниться, а решта ланок будуть обертатися з кутовими швидкостями j – А  навколо власних осей. Для розв'язання задачі складемо