Поширення хвиль згину в періодично структурованих пружних системах

Міжнародна науково-практична конференція «Актуальні проблеми інженерної механіки та їх взаємозв’язок з підготовкою фахівців високої кваліфікації» (Україна, м. Київ, 2002).

Крім того, окремі питання та робота в цілому неодноразово доповідалися та обговорювалися на науковому семінарі «Проблем механіки» при кафедрі теоретичної та прикладної механіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка під керівництвом члена-кореспондента НАН України А. Ф. Улітка. За темою дисертаційної роботи опубліковано 7 наукових праць, з них чотири [1-4] – статті в журналах, регламентованих ВАК.

Структура та об’єм роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, п’яти розділів основної частини, висновків, списку використаних літературних джерел та додатку. Загальний обсяг дисертації складає 132 сторінок машинописного тексту, список літературних джерел утримує 83 найменування і розміщено на 9 сторінках, додаток займає 23 сторінки.

 

 

У Вступі подається загальна характеристика дисертаційної роботи. Зокрема, обґрунтовується актуальність її теми, сформульована мета дослідження, визначені новизна та практичне значення отриманих результатів. Вказано на зв’язок роботи з науковими темами, наведено публікації автора, в яких викладено основний її зміст.

В першому розділі проведено огляд наукових праць за темою дисертації. Вивчення явища поширення хвиль в періодичних структурах бере початок в роботах таких видатних вчених, як І. Ньютон, Д. Бернуллі, Ж. Лагранж, О. Коші, Кельвін, зусиллями яких було повністю досліджено коливання одновимірних періодичних дискретних пружних систем, складених з однакових мас або мас декількох типів. Завдяки цим працям було встановлено, що в подібних системах можуть поширюватися лише хвилі, частоти яких належать певним інтервалам кількістю, рівній кількості типів мас.

Подальші дослідження хвильових полів в періодично структурованих середовищах характеризуються зміщенням акценту з дискретних до континуальних систем і умовно можуть бути розділені на два напрямки: дифракція хвиль на періодичних перешкодах та поширення хвиль в тілах, які мають періодичну будову. Вперше задача про падіння нормальної хвилі на дифракційну решітку, яка складається з однакових рівновіддалених смуг, в довгохвильовому наближенні була розв’язана Г. Лембом. В роботах В. Т. Грінченка, Л. А. Вайнштейна, І. В. Вовка, В. С. Ігнатовського, Д. В. Майзла, Р. Мюллера, В. П. Шестопалова та інших дослідників за рахунок використання таких потужних аналітичних методів, як метод Віннера-Хопфа, метод інтегральних рівнянь, метод суматорних рівнянь та метод частинних областей, даний розв’язок був узагальнений на випадок багатошаруватих решіток та сіток довільної конфігурації.

Перше дослідження, яке відноситься до другого напрямку, було проведене Релеєм, який за допомогою метода Хілла знайшов зони пропускання в задачі про поширення гармонічних коливань вздовж неоднорідної мембранної смуги з неперервною та періодичною в поздовжньому напрямку густиною. Проте, враховуючи простоту одержання результату, за основу всіх подальших досліджень одновимірних та квазіодновимірних випадків розповсюдження хвиль вздовж періодично структурованих систем було вибрано метод, який ґрунтується на теоремі Флоке. Так в роботах Л. Крімера та Д. В. Майзла на основі підходу Флоке було проведено аналіз хвильового поля в періодично шарнірно закріпленій балці.

Якісно новий крок вперед був зроблений М. Хеклом, який дослідив коливання пружних періодичних структур, що складається з двох взаємно ортогональних систем струн або балок, з’єднаних у вузлах. Вважаючи, що в такій системі можуть поширюватися лише згинні коливання, були побудовані дисперсійні криві для довільного напрямку розповсюдження хвилі. Дані результати були узагальнені на основі методу лінійних динамічних жорсткостей в роботах Ю. І. Бобровницького та В. П. Маслова.

В подальших дослідженнях хвильових полів в періодичних структурах була значно розширена їх конфігурація. Так аналіз поширення хвиль в пружних та електропружних шаруватих середовищах проведений в працях Л. М. Бреховських, Г. І. Петрашеня, А. Ф. Улітка, Ю. А. Устінова, М. О. Шульги та деяких інших дослідників. У більшості робіт, в яких вивчалися закономірностей розповсюдження збурень в періодично структурованих системах, використовувалося квазіодновимірне наближення, що не дозволило побудувати замкнену теорію. Лише останнім часом у зв’язку з появою потужної обчислювальної техніки зроблені перші спроби аналізу хвильових полів у суттєво двовимірних випадках.

У другому розділі виведені основні співвідношення класичних теорій згину балок (перший підрозділ) та платівок (другий підрозділ), які використовуються в четвертому розділі при побудові схем методу граничних елементів. На основі методу сил були одержані не лише рівняння рівноваги (стаціонарних коливань), а і вирази для кутів нахилу нормалей до перерізу, перерізуючих зусиль та згинаючих моментів через прогини. У випадку балки для амплітудних функцій згаданих характеристик наведені загальні вирази, що задовольняють рівняння стаціонарних коливань та утримують чотири довільні сталі інтегрування. Проаналізовано також дисперсійне співвідношення для хвилі згину, що поширюється в нескінченній однорідній балці.

Третій розділ дисертації присвячений вивченню закономірностей поширення хвиль згину в одновимірних періодичних структурах – в періодично закріплених або кусково однорідних балках.

В першому підрозділі розглядається проходження гармонічної хвилі вздовж нескінченної періодично шарнірно закріпленої балки (див. рисунок 1). Під шарнірним розуміється таке закріплення, яке у відповідному перерізі фіксує прогин балки w, який вибирається рівний нулеві, та залишає неперервними (довільними – не обов’язково рівними нулю) кут повороту нормалі до перерізу q та згинаючий момент M. Вводячи в розгляд мультиплікатор S, який згідно теорії Флоке є відношенням амплітуд деякої характеристики у відповідних точках двох сусідніх періодів,