Поширення хвиль згину в періодично структурованих пружних системах

Оскільки на горизонтальних шарнірах відсутні прогини та згинаючі моменти, то відповідні граничні умови можуть бути записані у вигляді

 

w|y=0 = w|y=b=0,  . (6)

 

Для їх тотожного задоволення амплітудну функцію прогину було представлено у формі

 

w (x, y) =  (x) sin?? n , (7)

 

яка відповідає застосуванню методу Фур’є. Представлення (7) шляхом його підстановки в рівняння стаціонарних коливань та граничні умови на вертикальних шарнірах, які як і у випадку балки мають вигляд (1), призводить до задачі

 

 , 0 < x < a, (8)

Xn (0) = Xn (a) = 0,  ,  , (9)

 

яка є задачею на відшукання власних значень мультиплікатора S та власних функцій Xn (x), подібною до граничної задачі на періоді відносно амплітуди квазіперіодичної хвилі, що поширюється в шарнірно закріпленій балці. Тому недивно, що визначення залежності мультиплікатора від частоти знову звелося до розв’язку рівняння (2), де вже

 

 , (10)

 ,  .

 

Зауважимо, що в формулах (8) - (10) квадрат частотного параметру p, вираз якого має дещо відмінний від раніше введеного вигляд, залишається пропорційним коловій частоті щ.

Виходячи з розв’язку рівняння (10), були побудовані “вікна прозорості” кососиметричної хвилі, зображені на рис. 5. Видно, що крім безрозмірного частотного параметру pa єдиним суттєвим для процесу є комбінований параметр na/b, а не окремо n та a/b. Дана обставина пояснюється автомодельністю гармонік кососиметричної хвилі, наприклад, при фіксованій частоті pa профіль другої гармоніки (n=2) хвилі буде співпадати з профілем головної гармоніки (n=1) аналогічної хвилі, але в платівці з вдвічі меншою відстанню між горизонтальними шарнірами.

Криві, які обмежують “вікна прозорості” відповідають дійсним значенням мультиплікатора, рівним за модулем одиниці. Ліві границі співпадають з резонансними частотами шарнірно закріпленої по периметру прямокутної платівки розмірами aЧb і утворюють параболи, які задаються співвідношенням

 

 , l = 1, 2, 3, …, (11)

 

де l відповідає порядковому номеру “вікна”. Праві границі “вікон прозорості” відповідають резонансним частотам прямокутної платівки розмірами aЧb, яка закріплена шарнірно на сторонах довжиною a та жорстко – на сторонах довжиною b. Відповідні криві теж нагадують гіперболи зі спільною асимптотою pa = рna/b, тому при зростанні значення параметра a/b “вікна” стають вужчими та ближче розташованими одне до одного.

В другому підрозділі задача про розповсюдження кососиметричної хвилі була поширена на випадок пружно закріпленої вздовж вертикальних прямих платівки та кусково неоднорідної платівки, яка складається з вертикальних однорідних смуг двох типів. При цьому вважалося, що періодичність платівки у вертикальному напрямку, як і раніше, визначається системою горизонтальних лінійних шарнірів. Тому в обох випадках для кожної гармоніки хвилі залежність мультиплікатора від частоти знову визначалась з рівняння, подібного до частотного рівняння для квазіперіодичної хвилі у аналогічним чином структурованій балці. Були побудовані відповідні “вікна прозорості”, аналіз яких показав незалежність якісної поведінки хвилі від типу неоднорідності платівки, в якій вона поширюється. Виходячи з цього, подальше дослідження розповсюдження хвиль в двоякоперіодичних платівках було вирішено провести на прикладі шарнірно закріпленої платівки.

Для узагальнення результатів, одержаних в першому підрозділі для кососиметричної хвилі в третьому підрозділі було розглянуто поширення вздовж однієї з двох систем лінійних шарнірних закріплень двоякоперіодичної платівки хвилі, профіль якої симетричний відносно шарнірних закріплень, в напрямку яких вона розповсюджується. Припущення про симетричність профілю хвилі вздовж її фронту дозволило знову розглянути лише одну смугу, поздовжні сторони якої є консольно закріпленими:

 

w|y=0 = w|y=b=0,  . (12)

 

Проте заміна граничних умов (6) на (12) значно ускладнює знаходження розв’язку, адже на відміну від випадку кососиметричної хвилі представлення прогинів, які відповідають симетричній хвилі, у вигляді ряду типу (7) зводить задачу до нескінченної алгебраїчної системи, розв’язок якої може бути знайдений лише чисельно. Враховуючи сильну залежність вигляду розв’язуючої системи, побудованої таким чином, від типу граничних умов, що може призвести до значних технічних труднощів при намаганні узагальнити задачу, було вирішено звернутися до методу граничних елементів.

Базуючись на теорії Флоке, задача про поширення симетричної хвилі була зведена до граничної задачі для прямокутної платівки з граничними умовами (1) та (12). Для її розв’язку периметр платівки було розбито на граничні елементи так, як це зображено на рисунку 6. На основі реалізації загальної схеми прямого методу граничних елементів була сформована матриця впливу  , i, j = 1, 2, …, 2N, де N – кількість граничних елементів на вертикальній стороні платівки (x – const),   – кут нахилу нормалі до i-го елементу, який виникає внаслідок прикладання до j-го елементу одиничного згинаючого моменту, якщо на горизонтальних сторонах периметру реалізується умова жорсткого закріплення,