Поширення хвиль згину в періодично структурованих пружних системах

 

л = (S + S -1) /2, (13)

 

задоволення останніх двох в (1) умов, які є умовами квазіперіодичного продовження, зводить вихідну задачу до узагальненої проблеми на власні значення вигляду:

 

det (Aл + B) =0, (14)

 

де елементи матриць A та B виражаються через елементи матриці впливу  . З властивостей функції Жуковського випливає, що “вікнам прозорості” мають відповідати дійсні значення л, менші за модулем від одиниці.

Для знаходження розв’язку узагальненої проблеми на власні значення існують спеціально розроблені методи. Проте враховуючи, що порядок відповідного матричного поліному є лише першим, (14) зводиться до звичайної проблеми на власні значення шляхом множення зліва на матрицю A-1 виразу в дужках. Остання була успішно розв’язана за допомогою ітераційного QR-методу.

Розподіл “вікон прозорості” для перших двох гармонік симетричної хвилі наведено на рисунку 7. Вони є більш нахиленими ніж у випадку кососиметричної хвилі, що пояснюється більшою жорсткістю системи: ліві границі “вікон” симетричної хвилі відповідають резонансним частотам прямокутної платівки розмірами aЧb, яка закріплена жорстко на сторонах довжиною a та шарнірно – на сторонах довжиною b, а праві границі – резонансним частотам платівки, закріпленої жорстко вздовж всього периметру. Оскільки симетрична хвиля не має властивості автомодельності своїх гармонік, то параметри n та a/b є незалежними і не можуть бути поєднані в одному. Порядковий номер “вікна прозорості” на діаграмі як і у випадку кососиметричної хвилі співпадає з кількістю локальних максимумів амплітуди на одному періоді вздовж напрямку поширення симетричної хвилі.

Побудова “вікон прозорості” для кососиметричної та симетричної хвиль вичерпує питання про повздовжнє поширення хвиль згину в двоякоперіодичній платівці. Розкладаючи профіль довільної хвилі на складові гармоніки ми завжди зможемо вказати, які з них будуть розповсюджувати, а які ні. Значно складніше зробити аналогічний висновок у випадку довільного напрямку поширення хвилі, дослідженню якого присвячено четвертий підрозділ. В ньому запропоновано підхід, який дозволяє знаходити часткові розв’язки поставленої задачі. Для цього була розглянута прямокутна частина нескінченної двоякоперіодичної платівки, яка складається з цілого числа періодів aЧb (див. рис. 8). На відміну від випадку поздовжнього поширення хвилі в даному разі умовами квазістатичного продовження пов’язувалися кути нахилу та згинаючі моменти на обох парах протилежних сторін:

 

 ,  , i = 1, 2, …, N1, (15)

 ,  , i = N1 + 1, N1 + 2, …, N.

 

Розв’язку, що задовольняє (15) та умові відсутності прогинів вздовж шарнірів, відповідає однорідна квазіперіодична хвиля, що поширюється вздовж напрямку, ортогонального до діагоналі AB, тобто під кутом j до горизонтальних шарнірів. Дійсно, розбиваючи нескінченну платівку на прямокутні області, одна з яких зображена на рисунку 8, та задаючи на кожній з них прогини так, щоб їх розподіл, який має задовольняти вказаним умовам, не змінювався від області до області при русі вздовж діагоналі AB, а в ортогональному напрямку зростав на величину S, одержуємо неперервне на всій нескінченній двоякоперіодичній платівці поле прогинів.

Використовуючи матрицю впливу  , i, j = 1, 2, …, 2N, фізичний зміст елементів якої подібний до раніше вказаного, на основі нескладних, але громіздких перетворень виконання умов (15) було знову зведено до узагальненої проблеми на власні значення (14).

У якості прикладу застосування розробленого підходу було розглянуто випадок “діагонального” поширення хвилі, коли прямокутна область співпадає з елементарним періодом платівки (або утримує однакову їх кількість в обох напрямках лінійних періодів). В результаті розв’язку задачі, були побудовані “вікна прозорості” для області у вигляді елементарного періоду. Виявилося, що вони бувають двох типів. Перший тип характеризується однаковою парністю чисел локальних максимумів амплітуд прогинів вздовж лінійних періодів. Вони займають увесь частотний проміжок від лівої границі відповідного “вікна прозорості” кососиметричної хвилі до правої границі відповідного “вікна прозорості” симетричної хвилі. “Вікна прозорості” другого типу пов’язані з хвилями, які мають різну парність максимумів вздовж лінійних періодів. Вони теж знаходяться між вказаними межами, які проте не є їхніми границями.

На рисунку 9 зображено “вікна прозорості” хвиль з одним максимумом на період вздовж його горизонтальної границі. Перше “вікно прозорості” характеризується одним максимумом амплітуди хвилі також і в вертикальному напрямку, а тому належить до першого типу. Видно, що його ліва границя співпадає з лівою границею першого “вікна прозорості”, зображеного тонкою лінією на рис. 7, а права – з правою границею першого “вікна прозорості”, відображеного товстою лінією на тому самому рисунку. На обох границях мультиплікатор приймає дійсне значення: S = ±1. На відміну від цього граничні значення мультиплікатора для другого на рис. 9 “вікна прозорості” є комплексними, що пояснюється його належністю до другого типу “вікон прозорості” (амплітуда відповідної хвилі має два максимуми на одному періоді вздовж вертикального напрямку).

Завершує розгляд випадку “діагонального” поширення хвилі побудова “вікон” для області 2Ч2 елементарних періоди, які не існують для квазіперіодичних хвиль з періодом рівним елементарному. Вказано, як запропонований підхід можна використати для побудови однорідних розв’язків