Поширення хвиль згину в періодично структурованих пружних системах

 

w|x=0 = w|x=a=0, q |x=a = Sq |x=0, M |x=a = S M |x=0, (1)

 

де a – відстань між двома сусідніми опорами, тобто період балки.

Враховуючи гармонічну залежність прогинів, кутів повороту та згинаючих моментів від часу та підставляючи в (1) загальні вирази для їх амплітудних функцій, знаходження залежності значення мультиплікатора від колової частоти хвилі w шляхом покладання рівним нулеві значення визначника одержаної лінійної системи було зведене до розв’язку квадратного рівняння

 

S 2 – 2 S + 1 = 0, (2)

 

де

 

  (pa) = [sh (pa) cos (pa) – ch (pa) sin (pa) ] [sh (pa) – sin (pa) ]-1,

(pa) 2 = щ (сF/EJ) 1/2 – безрозмірна частота, с, E, F та J – густина, модуль Юнга, площа та момент інерції поперечного перерізу балки.

 

Два взаємно обернені корені рівняння (2), фізично відповідають одній і тій самій хвилі, але з протилежними напрямками руху вздовж балки. У випадку, коли | |>1, обидва корені рівняння є дійсними, а амплітуда хвилі зменшується в напрямку свого поширення від періоду до періоду в геометричній прогресії. За таких умов, власне, не можна говорити про поширення хвилі. Навпаки, для частотних проміжків, на яких | |<1, відповідна хвиля поширюється вздовж балки без зміни своєї амплітуди, адже за такої умови корені рівняння (2) є комплексно спряженими числами, за модулем рівними одиниці. Такі частотні інтервали домовимося називати зонами пропускання або “вікнами прозорості”. Для даної задачі було встановлено фізичний зміст границь “вікон прозорості”, для яких виведені асимптотичні значення, що відповідають високим частотам. Показано, що ліві границі відповідають резонансним частотам шарнірно закріпленого періоду балки, а праві – резонансним частотам консольно закріпленого прольоту. Значення мультиплікатора в обох граничних випадках є дійсними, тобто S = ±1.

Ґрунтуючись на представленні мультиплікатора в тригонометричному вигляді

 

S = eika (3)

 

де ka – безрозмірне хвильове число, було отримане дисперсійне співвідношення

 

cos ka=  (pa). (4)

 

Виділяючи гілки функції Arccos, була побудована дисперсійна крива, єдина гілка якої зображена на рисунку 2 в порівнянні з двома дисперсійними гілками, що відповідають хвилі в однорідній балці без закріплення (зображені пунктирними лініями). Розташування “вікон прозорості” співпадає з положенням частин кривої, які лежать в площині дійсних значень ka та позначені на рисунку товстими лініями. Нульове значення групової швидкості хвилі для частот, що обмежують дані частини, повністю узгоджується з раніше наведеним їх фізичним змістом.

Крім частотної залежності мультиплікатора (хвильового числа) була також знайдена форма однорідної хвилі на періоді. Останнє дозволило вказати шлях побудови полів прогинів нескінченної шарнірно закріпленої балки, яке виникає під дією зовнішнього навантаження, що змінюється в часі за гармонічним законом. У якості прикладу розглянуто напівнескінченну балку, до граничного шарніру якої прикладено згинаючий момент, та нескінченну балку, середній переріз деякого прольоту якої навантажено зосередженою перерізуючою силою. В обох випадках, починаючи з першого ненавантаженого періоду, розв’язок було представлено у вигляді біжучої на нескінченність квазіперіодичної хвилі.

Для обґрунтування запропонованого підходу в другому підрозділі розглянуто задачу про балку, навантажену зосередженою силою, без застосування теорії Флоке. Використовуючи функцію впливу для однорідної балки, задачу було зведено до нескінченної лінійної алгебраїчної системи різницевого типу відносно реакцій, що виникають в шарнірах. Її розв’язок, який був отриманий за допомогою дискретного перетворення Лорана, повністю співпав з раніше знайденим. Виходячи з загальновідомих результатів теорії аналітичних функцій, з якими тісно пов’язане перетворення Лорана, можна стверджувати, що отриманий розв’язок є єдиним обмеженим на нескінченності розв’язком вихідної задачі. Знайдене аналогічним чином його узагальнення на випадок довільного зовнішнього навантаження, дозволило зробити висновок, що прогин нескінченної періодично шарнірно закріпленої балки завжди можна представити у вигляді квазіперіодичної хвилі, починаючи відразу з першого ненавантаженого прольоту.

Приймаючи до уваги значні технічні труднощі, що виникають при розв’язанні граничних задач для періодично структурованих балок шляхом зведення їх до нескінченних алгебраїчних систем, дослідження поширення хвиль в періодично пружно закріпленій балці виконане в третьому підрозділі на основі теорії Флоке. Вважаючи, що в опорах виникає момент опору, пропорційний куту нахилу перерізу, та реакція, пропорційна прогину, задача знову була зведена до визначення прогину на одному прольоті з наступними граничними умовами:

 

w|x=a = Sw|x=0, и |x=a = Sи |x=0,

M |x=a = S (M + b0и) |x=0, Q |x=a = S (Q + a0w) |x=0 (5)

 

де Q – перерізуюча сила, a0 та b0 – коефіцієнти пропорційності (жорсткості закріплень).

Повторюючи викладки, проведені нами у випадку шарнірно закріпленої балки, було одержано рівняння відносно мультиплікатора, яке має дві пари взаємно обернених коренів, а тому дисперсійна крива, складається з двох гілок. Одна з них лежить повністю в площині уявних значень хвильового числа і подібна до відповідної гілки хвилі в однорідній незакріпленій балці, тобто