Поширення хвиль згину в періодично структурованих пружних системах

В додатку наведено текст програми розрахунку “вікон прозорості” хвиль в двоякоперіодичних платівках за довільного напрямку їх поширення.

 

 

Досліджено явище поширення хвиль згину в одновимірних механічних системах з періодичним кусково постійним законом зміни геометричних та механічних характеристик вздовж просторової координати. Знайдено замкнутий аналітичний розв’язок задач про проходження хвиль вздовж періодично шарнірно закріпленої та пружно закріпленої однорідних балок, а також вздовж періодичної кусково неоднорідної балки. На прикладі конкретних граничних задач для нескінченної періодично шарнірно закріпленої балки обґрунтовано правомірність застосування теорії Флоке. У кожному випадку неоднорідності побудовано та проведено аналіз дисперсійних кривих хвилі, знайдено частотні області поширення збурень («вікна прозорості»). Показано, що у таких системах «вікна прозорості» обмежені значеннями резонансних частот коливань елементарних періодів балок з відповідними умовами закріплення. Встановлено, що посилення неоднорідності балки призводить до звуження “вікон прозорості”.

У якості узагальнення результатів розв’язку одновимірних задач розглянуто явище поширення кососиметричної за своїм профілем хвилі вздовж системи осьових шарнірів в двоякоперіодичних нескінченних платівках. Показано, що для кожної моди хвилі трансцендентне рівняння, з якого визначається залежність мультиплікатора від частоти, має форму, подібну до розв’язуючого рівняння для випадку відповідної балки. Як і у одновимірному випадку «вікна прозорості» обмежені резонансними частотами, відповідним чином закріплених платівок, що становлять елементарний період системи.

Для смуги шарнірно закріплених платівок в площині безрозмірної частоти та комбінованого параметра, який є добутком номера моди та відношення сторін платівок, знайдено аналітичний вираз для кривих, що є нижньою межею «вікон прозорості». Встановлено, що вони є гіперболами з асимптотою, яка співпадає з прямою, що поділяє вказану площину на зони пропускання та непропускання для однорідного хвильовода, та відповідають резонансним частотам шарнірно закріпленої по периметру платівки, що співпадає з елементарним періодом.

Побудована та апробована схема методу граничних елементів для задач стаціонарних коливань періодично структурованих платівок. За її допомогою задача про поширення хвиль в двоякоперіодичних системах була зведена до узагальненої алгебраїчної проблеми на власні значення. Останнє дозволило побудувати «вікна прозорості» для «діагонального» напрямку поширення хвилі в нескінченній платівці, закріпленій двома взаємно ортогональними системами осьових шарнірів. Проведено аналіз їх розподілу.

 

 

Куценко А. Г. Поширення хвиль в балках, закріплених періодичним чином // Вісник Київського університету. Сер. фіз. -мат. наук. – 1997. – №3. – С. 69 – 76.

Куценко А. Г. Поширення хвиль згину вздовж періодичних ланцюгових систем платівок // Вісник Київського університету. Сер. фіз. -мат. наук. – 1999. – №4. – С. 38 – 43.

Куценко А. Г. До поширення хвиль в періодично закріплених пластинах // Машинознавство. – 1999. – №10. – С. 10 – 13.

Куценко А. Г. Загальний підхід до дослідження явища поширення хвиль згину в двоякоперіодичних платівках // Вісник Київського університету. Сер. фіз. -мат. наук. – 2000. – №4. – С. 95 – 99.

Куценко А. Г. Поширення хвиль в одно- та двовимірних пружних системах, які мають періодичну структуру // Матеріали Міжнар. наук. конф. “Сучасні проблеми механіки та математики”. – Львів: ІППММ НАН України – 1998. – С. 106.

Куценко А. Г. Закономірності розповсюдження хвиль в двоякоперіодичних пружних системах з розподіленими параметрами // Тези доп. 4-ї Міжнар. симпоз. українських інженерів-механіків у Львові. – Львів: Мін. освіти України – 1999. – С. 70 – 71.

Куценко А. Г. Проблеми реалізації МГЕ в теорії згину пластин, пов’язаних з парадоксом Сапонджяна // Науковий вiсник Національного аграрного унiверситету. – 2002. – Вип. 49. – С. 168 – 171.

 

 

Куценко А. Г. Поширення хвиль згину в періодично структурованих пружних системах. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01. 02. 04 – механіка деформівного твердого тіла, – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2002.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню явища поширення хвиль згину в одновимірних та двовимірних механічних системах, які мають періодичну просторову будову. На основі теорії Флоке знайдені однорідні розв’язки, які відповідають хвилям, що розповсюджуються в шарнірно та пружно періодично закріплених балках, а також в кусково-однорідній балці періодичної структури. Проведено аналіз розподілу зон пропускання та встановлено фізичний зміст їх граничних частот. На прикладі шарнірно закріпленої балки показано, як згадані розв’язки можуть бути використані для побудови розв’язків фізично обґрунтованих граничних задач для відповідних нескінченних або напівнескінченних систем. За допомогою методу Фур’є одержані результати були поширені на випадок квазіодновимірних задач для двоякоперіодичних платівок. Для вивчення закономірностей поширення хвиль в двоякоперіодичних платівках в загальному випадку був розроблений підхід, який базується на методі граничних елементів та ітераційному QR-методі розв’язку алгебраїчної проблеми на власні значення. На основі розробленого комплексного методу були знайдені зони пропускання хвилі, яка поширюється в напрямку, ортогональному до діагоналі елементарного періоду. Встановлено існування квазіперіодичних хвиль, які мають період кратний елементарному.

Ключові слова: хвиля, балка, платівка, періодична структура, константа поширення, зона пропускання, теорія Флоке, метод граничних елементів.

 

 

Куценко А. Г. Распространение изгибных волн в периодически структурированных упругих системах. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01. 02. 04 – механика деформируемого твердого тела, – Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2002.

Диссертационная работа посвящена исследованию явления распространения изгибных волн в одномерных и двумерных механических системах, имеющих периодическое строение. Структурно она состоит из введения, пяти глав, выводов, списка используемых литературных источников и приложения.

Во введении обосновывается актуальность и новизна исследований по теме диссертации, показано их теоретическое и практическое значение, сформулированы основные цели работы и намечены пути их достижения.

В первой главе приведен обзор научных трудов, посвященных проблеме распространения гармонических волн в средах, имеющих периодическое пространственное строение. Показано современное состояние данного раздела механики, отмечены основные проблемы на пути его дальнейшего развития.

Во второй главе изложены основные положения классической теории изгиба балок и пластин.

На основании теории Флоке в третьей главе найдены частные решения однородного уравнения колебаний балки, соответствующие волнам, распространяющимся в шарнирно и упруго закрепленных балках, а также в кусочно-однородной балке периодической структуры. Выполнен анализ распределения, так называемых, “окон прозрачности” – частотных диапазонов, которые соответствуют волнам, не меняющим своей амплитуды от периода к периоду. Установлено, что увеличение неоднородности системы ведет к уменьшению “окон прозрачности”. Определен физический смысл граничных частот “окон прозрачности”: данные частоты являются собственными частотами колебаний одного периода балки с соответствующими условиями закрепления. Так в случае бесконечной шарнирно закрепленной балки левые границы окон прозрачности совпадают с резонансными частотами колебаний одного шарнирно закрепленного пролета, а правые – жестко закрепленного пролета. На примере шарнирно закрепленной балки показано как найденные однородные решения могут быть использованы при построении решений физически обоснованных граничных задач для соответствующих бесконечных или полубесконечных систем. На основе альтернативного метода решения указанных граничных задач, который состоит в сведении их к бесконечных алгебраическим системам разносного типа с последующим решением при помощи дискретного преобразования Лорана, была доказана единственность их решений.

Для эффективного нахождения характеристик волновых полей в двумерных системах в четвертой главе была построена схема прямого метода граничных элементов. Первоначально метод граничных элементов был развит для одномерных задач и апробирован на примере задач, решенных в третьей главе. Во второй части четвертой главы его схема была доработана на случай стационарных колебаний пластин. Она также была апробирована, путем сравнительного анализа численных результатов с аналитическими решениями ряда задач, рассмотренными в пятой главе.

В пятой главе основные результаты третьей главы были распространены на случай квазиодномерных задач для двоякопериодических пластин, когда волна бежит вдоль направления одного с двух линейных периодов. При помощи метода Фурье были найдены аналитические решения, соответствующие распространению кососимметричных волн, т. е. волн, профиль которых вдоль фронта описывается нечетной периодической функцией пространственной переменной. Анализ распределений “окон прозрачности” подтвердил подобие волновых процессов в одномерных и квазиодномерных системах.

Для дальнейшего изучения закономерностей распространения волн в двоякопериодических системах был разработан подход, который состоит в сведении соответствующих задач к обобщенной алгебраической проблеме на собственные значения путем использования матрицы влияния для периода пластины. Элементы матрицы влияния предложено находить при помощи метода граничных элементов, а собственные значения вычислять при помощи итерационного QR-метода.

На основании разработанного комплексного метода было решено ряд задач о распространении волн в однородной бесконечной пластинке, закрепленной при помощи двух периодических систем взаимно ортогональных линейных шарниров. Для завершения рассмотрения квазиодномерного случая была решена задача о распространении симметричной волны. Её решение находится в полном соответствии с ранее найденными закономерностями распространения волн в одномерных системах. Гораздо больший интерес представляет другая исследованная задача, в которой волна бежит вдоль направления, ортогонального к диагонали периода. Установлено, что при таких условиях система допускает существование “окон прозрачности” двух типов. Кроме того, обнаружено существование распространяющихся волн, период которых больше от элементарного периода.

В приложении приведен листинг программы, реализующей разработанный автором метод нахождения “окон прозрачности” для волны, распространяющейся в произвольном направлении двоякопериодической шарнирно закрепленной бесконечной пластинки.

Ключевые слова: волна, балка, пластинка, периодическая структура, константа распространения, зона пропускания, теория Флоке, метод граничных элементов.

 

 

Kutsenko A. G. The propagation of bending waves along the elastic solids with periodic structure. – Manuscript.

The dissertation on competition of scientific degree of physics and mathematics science on a speciality 01. 02. 04 – mechanics of deformed rigid solid. Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 2002.

The dissertation is devoted to bending wave propagation phenomena in one- or two-dimensional continuous periodic engineering structures. With using of Floquet's principle the free wave motions in the both simple or elastic periodically supported infinite beam and the sectionally homogenous infinite beam are investigated. The distribution of pass-bands is analyzed and the physical sense of them boundary frequencies is established. The connection between the obtained quasi-periodic solutions and the solutions of the boundary problems for corresponding infinite or half-infinite periodic structures is shown by the example of the simply supported beam. Using Fourier’s method this results was generalized on the case of quasi-one-dimensional waves in double periodic plates. For investigation of the general case of wave propagation in double periodic plates the complex method, which includes the boundary elements method and the iteration QR-method for the solution of the matrix eigenvalue problems as its constituents, was developed. This allowed us to find the pass-bands of the wave, which propagates in the orthogonal to the period diagonal direction. The existence of the quasi-periodic waves which period consists of few basic periods is established.

Key words: wave, beam, plate, periodic structure, propagation constant, pass-band, Floquet's principle, boundary elements method.