Економетрія

0,365≤ ηy/х≤0,513.

Значення ηy/х =0,525 не потрапляє в довірчий інтервал, що свідчить про нелінійність зв'язку.

Завершальним дослідженням парного рівняння є перевірка відповідності виведеного рівняння описуваному реальному процесу. Якщо отримано декілька рівнянь регресії, то кращим слід читати те з них, яке ближче до закономірності по суті досліджуваного процесу, що вивчається. Слід оцінити ступінь близькості результатів розрахунків по кожному з отриманих рівнянь до звітних даних. Цей ступінь оцінюється по залишковій теоретичній дисперсії , яка характеризує розкид досліджених точок кореляційного поля навколо теоретичної лінії регресії під впливом чинників, що не враховані в отриманому рівнянні.

Залишкова теоретична дисперсія визначається з рівняння

 ,(3.26)

деn - обсяг вибірки;

Р - число параметрів рівняння; 

К - число інтервалів;

h  - число спостережень в i-му інтервалі;

yij - значення досліджених даних функціональної ознаки;

  - розрахункове значення функціональної ознаки, обчислене за рівнянням регресії.

Якщо складено декілька рівнянь регресії і для кожного обчислена залишкова дисперсія, то з декількох рівнянь регресії, рівноцінних по суті, перевагу слід віддати тому, в якого залишкова дисперсія менше.

Для управління регресії з одним аргументом Х залишкову дисперсію обчислюємо за формулою

.(3.27)

Одним з ознак згоди початкових даних з отриманим рівнянням служить нормальність розподілу відхилень досліджених даних від розрахункових (yij- xi) зі середнім значенням, рівним нулю, і середнім квадратичним відхиленням, рівним σy/х. Чим ближче розподіл цих відхилень до вказаного нормального закону, тим краще узгоджуються вихідні дані з виведеним рівнянням регресії. Обчисливши всі відхилення (yij- xi), перевіряємо наявність нормального закону їх розподілу візуально і за критерієм згоди.

Таким чином, дослідження управління в тій або іншій формі полягає у визначенні його параметрів (із вирішення системи нормальних рівнянь), підстановці в отримане рівняння всіх вихідних значень аргументу, розрахунку відповідних значень  ij, порівнянні розрахункових значень  i із вихідними значеннями, обчисленні суми квадратів відхилень розрахункових значень від вихідних і визначення залишкової дисперсії  2y/х. Найкраща форма визначається за найменшою залишковою дисперсією. За такою схемою визначаються форми зв'язку у по всіх аргументах.

Існує і критерій адекватності, запропонований Фішером, заснований на порівнянні залишкової теоретичної дисперсії  2y/х і загальної дисперсії σy2. Розглядається відношення   і порівнюється з табличним (для  % Фішера знайдено розподіл і складена спеціальна таблиця) при заданому рівні значущості і різних ступенях свободи.

Загальна дисперсія σy2 досліджених даних від їх середнього значення встановлюється з урахуванням числа ступенів свободи   :

 ,(3.28)

де К – число інтервалів у вибіркових даних.

Залишкова теоретична дисперсія  2y/х встановлюється як різниця розрахункових  i  і середніх інтервальних значень  i  з урахуванням числа ступенів свободи d1=K-P і d2=n-K,

де Р – число параметрів управління.

Якщо  рас ≤ табл, то при заданому рівні значущості складене рівняння регресії затверджується. Вірогідність помилки тим менше чим більше рівень значущості α%.

У разі, коли чисельник  2y/х менше знаменника σy2, то міняємо їх місцями разом з відповідними ступенями свободи d1=K-P і d2=n-K.

Приклад. Загальна дисперсія σy2=41,5 при n=154 і К=12.

Залишкова дисперсія  2y/х=34,44 при К=12 і Р=3 (Р=3 в квадратному рівнянні регресії).

Вирішення.

 , оскільки σy2> 2y/х, переходимо до відношення  із ступенями свободи D1=154-12=142, d2=12-3=9  розр.= =1,21,

за таблицею  5%(142,9)=2,75    20%(142,9)=1,7.

Отже, знайдене квадратне рівняння регресії з високою надійністю узгоджується з вихідними даними.

Приклад. З метою кореляційного аналізу собівартості перевезення 10 пасажирів по одному з депо зібрано щомісячні дані за останні три роки. Обсяг вибірки складає n=36 спостережень (табл. 3.1).

 

Таблиця 3.1 – Показники діяльності депо

 

№

n/nСобівартість перевезення 10 пасажирів, (у) коп.Середньодобове перебування на лінії рухомого складу, (х) год.№

n/n

Собівартість перевезення 10 пасажирів, (у) коп.Середньодобове перебування рухомого складу на лінії, (х) год.

180,9411,611979,9811,85

282,7911,522077,7211,78

372,2312,18 max2180,1111,63

472,11 min12,182281,5011?59

578,9211,722381,9411,67

674,7611,982481,9811,61

777,9111,672585,98 max11,55

877,8411,682678,3611,72

976,1411,832779,5111,78

1074,6612,032874,2411,91

1179,0211,762973,1011,95

1283,3411,563075,9211,87

1379,2011,783181,3111,66

1478,9611,803283,0511,55

1576,7911,943384,9011,51 min

1679,6811,823483,1411,58

1774,0811,883581,9911,67

1877,7211,773685,6911,58

 

2847,5423,15

 

 

1. Оскільки вихідні дані зібрані по одному об'єкту, їх статистична однорідність не перевіряємо. 

2.Визначаємо статистичні характеристики ряду розподілу.

Варіаційний розмах у коливається наступним чином: Ray =ymax-ymin=85,98-72,11=13,87; відносний розмах  , розмах варіювання (розмір інтервалу) розраховуємо за формулою Стерджеса:

 .(3.29)

 

Визначаємо початок першого інтервалу: 

 .(3.30)

Аналогічні розрахунки виконані для аргументу:

Rax=Xmax-Xmin=12,18-11,51=0,67,(3.31)

 (3.32)

3. Складакємо ряди розподілу у і Х (таб.3.2).

Таблиця 3.2 - Ряди розподілу у і Х

ІнтервалиСередина інтервалуЧастотаІнтервалиСередина інтервалуЧастота

∆yyi ср.mi∆XXi ср.mi

71-7372211,5-11,611,558

73-7574411,6-11,711,658

75-7776611,7-11,811,757

77-7978711,8-11,911,856

79-8180711,9-12,011,954

81-8382312,0-12,112,052

83-8584512,1-12,212,151

85-8786212,2-12,312,25-

4. Розраховуємо основні числові характеристики: середня арифметична для показника у:

 .(3.33)

Середньоквадратичне відхилення і дисперсія:

 ; (3.34)

 .(3.35)

Коефіцієнт варіації:

 .(3.36)

Аналогічно для Х

 ,(3.37)

5. Досліджуємо закон розподілу.

5.1.Складаємо таблицю розподілу дослідних даних у, обчислюємо середнє значення   і дисперсію σ2y.