Економетрія

Як було рекомендовано вище, підбираємо функціональні перетворення змінних, рівняння виду (2) до лінійного виду, а значить шукане допоміжне множинне рівняння (3): перетвориться до вигляду

  u1,u2….up=a1 u1+ a2 u2+….ap up.(3.58)

 

Отже, оперуючи далі перетвореними змінними V і Uj, можна обмежитися методикою складання лінійного множинного рівняння, використовуючи всі переваги лінійної регресії:

- попереднє знаходження стандартизованого рівняння V по U1, U2... Up за допомогою кореляційної матриці;

- дослідження зворотної кореляційної матриці;

- дослідження суттєвості й незалежності коефіцієнтів регресії;

- аналіз бета – коефіцієнтів;

- аналіз зміни детермінації як показника тісноти зв'язку.

Якщо об'єднується парна лінійна залежність виду  =kx+b, то приходимо до вирішення задачі визначення множинної регресії вигляду

х1, х2… хр =а1 х1  +  а2 х2  +…+ар хр (3.59)

або інакше як і в разі, коли у функціонально не перетворювався, коефіцієнти а1, а2…ар рівняння множинної регресії можуть бути визначені методом найменших квадратів:

х1, х2… хр- у=а1 (х1- 1) а2 (х2- 2)+……ар(хр- р).(3.60)

Проте при цьому буде утруднене зіставлення ступеня впливу окремих чинників-аргументів на функцію.

Більш зручно переходити до стандартизованого масштабу змінних, використовуючи формули

,(3.61)

При цьому слід мати на увазі, що всі середні значення стандартизованих величин tyx1, x2…xp т.е.   і txi або xi рівні нулю, а їх дисперсії σij2 и σtxi2 =1.

Разом з тим коефіцієнти кореляції між стандартизованими величинами зберігають колишні значення, тобто rty = ryti, rtxi = rxi. У результаті стандартизації рівняння множинної регресії набуває вигляду

t xi = β1 t1 + β2 t2 +… + βp tp,(3.62)

де, β1, β2…. β р – невідомі коефіцієнти регресії в стандартизованому масштабі;

tyx1,  t1, t2….tp – стандартизовані значення змінних.

Для визначення β- коефіцієнтів виходимо з принципу найкращого наближення розрахункових значень до вихідних даних, що лежить в основі методу найменших квадратів. Відсівається таке лінійне рівняння, щодо якого сума квадратів відхилень заданих значень ty, 1,2 …. p від розрахункових по рівнянню якнайменша з усіх можливих для рівнянь такого виду.

Ця вимога приводить до системи лінійних рівнянь щодо шуканих              β-коефіцієнтів і називається системою нормальних рівнянь:

ry1 = β1 + r12 β2 +……+ r1p βp

ry2 = r2 1 β1 + β2+……+ r2p βp

............................................... .(3.63)

ryp = rp1 β1 + rp2 β2 +…….+ βp.

 

Як видно, для отримання багатофакторного рівняння, крім "зовнішніх парних коефіцієнтів" кореляції між у і хi, тобто ry1, ry2 і т.д. вимагається знайти "внутрішні коефіцієнти" кореляції між чинниками-аргументами, тобто r12, r13…… r1р.

Правило складання системи нормальних рівнянь для відшукання β- коефіцієнтів формулюється таким чином: за коефіцієнти при невідомих β1, β2….. βр приймаються "внутрішні коефіцієнти" кореляції між чинниками-аргументами, а як вільні члени - "зовнішні коефіцієнти" кореляції між функцією і кожним з чинників.

Регресійну модель в більшості випадків розглядають як інструмент аналізу, планування і управління виробництвом. Звідси особливо строгі вимоги ставляться до надійності, адекватності й точності кожного коефіцієнта моделі. Якщо стандартна помилка знайденого коефіцієнта регресії перевершує його за абсолютною величиною, то не можна поручитися за достовірність не тільки того, на скільки одиниць свого найменування в середньому змінюється  при зміні Х на одиницю свого вимірювання, але і за напрям впливу даного чинника-аргументу.

Точність визначення коефіцієнтів множинної регресії суттєво залежить від ступеня стійкості системи нормальних рівнянь або, інакше, від ступеня обумовленості кореляційної матриці.

Система нормальних рівнянь є добре обумовленою, якщо малим змінам коефіцієнтів відповідають малі (того ж порядку) зміни рішень. Інакше кажучи, має місце безперервний зв'язок між коефіцієнтами системи рівнянь і її коренями - корені системи стійкі при малих змінах її коефіцієнтів.

Приклад. У табл. 3.5 наведена матриця коефіцієнтів кореляції собівартості перевезення пасажирів міським транспортом по трьох чинниках

Таблиця 3.5 – Матриця коефіцієнтів кореляції

Х1 = tср. сут.Х2 = Аср.сут.Х3 = Пкм.ry/xj

1

-0,8803

-0,7294-0,8803

1

0,9376-0,7294

0,9376

1-0,9108

0,9012

0,9055

При визначенні залежності собівартості перевезення пасажирів від  Х1 і Х3, β-коефіцієнти знаходимо з вирішення системи нормальних рівнянь

β1 - 0,7294 β3 = -0,9108;(3.64)

-0,7294 β1 +   β3 = 0,9055.(3.65)

Система має рішення 

β1 = -0,5348, β3 = 0,5208.(3.66)

Якщо провести округлення всіх коефіцієнтів до десятих часток одиниці, отримаємо систему

β1 – 0,7 β3 = -0,9;(3.67)

-0,7 β1 - β3 = 0,9.(3.68)

Система має рішення 

β1 = -0,5294, β3 = 0,5185.(3.69)

При цьому зміни коефіцієнтів:

∆а13 = -0,7294-(-0,7)= -0,0294;(3.70)

∆b1 = -0,9108-(-0,9)= -0,0108;(3.71)

∆b3 = 0,9055-0,9 = 0,055.(3.72)

І відповідні зміни коренів:

∆ β1 = -0,5348-(-0,5294)= -0,0054,(3.73)

∆ β3 = 0,5208-0,5185= 0,0023(3.74)

того ж порядку; корені системи стійкі.

Проте існують системи, погано обумовлені,