Економетрія

Приклад. Розглянемо систему нормальних рівнянь для визначення β- коефіцієнтів двофакторної моделі залежності собівартості перевезення пасажирів від Х1 і Х2,  β- коефіцієнти знаходимо з вирішення системи нормальних рівнянь:

β1 –  0,8803   β2 = -0,9108;(3.75)

-0,8803 β1 +  β2 = 0,9012.(3.76)

Система має рішення 

β1 = -0,5219, β2 = 0,4418.(3.77)

Якщо провести округлення всіх коефіцієнтів до десятих часток одиниці, отримаємо систему

β1 – 0,9  β2  = -0,9;(3.78)

-0,9 β1 + β2 = 0,9.(3.79)

Система має рішення: 

β1 = 0,4737, β2 = 0,4736.(3.80)

При цьому зміни коефіцієнтів

∆а12 = -0,8803-(-0,9)= -0,0119;(3.81)

∆b1 = -0,9108-(-0,9)= -0,0108;(3.82)

∆b2  = 0,9012-0,9= -0,001(3.83)

і відповідні зміни коренів:

∆ β1 = -0,5219-(-0,4737)= -0,048;(3.84)

 ∆ β2 = 0,4418-0,4736= -0,0318.(3.85)

Зміна другого кореня перевищує його значення. Змінився навіть знак кореня. Крім того, отримане рішення значно перевищує зміни коефіцієнтів системи. Отже регресійна модель, побудована за допомогою β-коефіцієнтів, знайдених по цій матриці, виявилася б нестійкою і економічні висновки з неї б були неточні й ненадійні. Стійкість системи нормальних рівнянь є  необхідною умовою надійності економіко-математичної моделі.

Особливо часто явище нестійкої системи має місце в моделях з великим числом параметрів, де проблема обумовленості має найважливіше значення.

Виявивши нестійкість системи нормальних рівнянь, треба знайти причину цього явища і можливість його усунення.

Звичайно погано обумовлена система нормальних рівнянь має місце за наявності тісних кореляційних зв'язків між  аргументами, що включаються в модель.

Лінійна залежність деяких аргументах в генеральній сукупності інших називається мультиколінеарністю.

Якщо в генеральній сукупності два аргументи, наприклад Х1 и Х2 лінійно залежать один від одного, то система з Р невідомими зводиться до системи Р-1 невідомими. Така система Р рівнянь є невизначеною, а  її матриця виродженою. За допомогою такої системи β- коефіцієнти не можуть бути однозначно визначеними. Отже, багатофакторна модель , що включає обидва аргументи Х1 и Х2, не може бути складеною.

Система рівнянь може виявитися погано обумовленою і її рішення будуть нестійкі, якщо в стовпцях або в рядках матриці розташовуються пропорційні значення "внутрішніх коефіцієнтів" кореляції між коефіцієнтами.

Явище мультиколінеарністі, тобто лінійна залежність одного з аргументу від інших виявляється декількома способами:

- професійними міркуваннями по суті досліджуваного явища;

- інструкцією заснованої на складанні "внутрішніх і "зовнішніх" коефіцієнтів" кореляції кожного з аргументів. Якщо "внутрішній коефіцієнт" кореляції більше "зовнішнього", то даний аргумент в рівняння множинної кореляції не слід включати;

- використанням статистичного критерію мультиколінеарністі (Феррара і Гюбера). Для цього розглядається величина

j = (Cij-1)  ,(3.86)

де Cij – діагональні елементи матриці, зворотної до кореляційної, знайденої за вибірковими даними;

n – обсяг вибірки;

p – число аргументів у рівнянні множинної регресії.

Зворотною по відношенню до даної називається матриця, яка, будучи помноженою як справа, так і зліва на дану матрицю, дає одиничну матрицю.

Для матриці А зворотна їй позначається через А-1. Тоді за визначенням маємо:

А-1*А = А* А-1 = Е(3.87)

Якщо існує зворотна матриця А-1, то матриця А називається зворотною. Для виродженої матриці зворотної матриці не існує, оскільки її визначник рівний нулю.

Визначник зворотної матриці рівний зворотній величині визначника даної матриці, що дає можливість обчислення зворотної матриці за допомогою визначників. Для цього використовуються поняття мінору і доповнення алгебри.

Мінором Мij елемента аij визначника Д=(Оij) називається такий новий визначник, який отриманий з даного визначника викреслюванням рядка і стовпця, що знаходиться через даний елемент матриці А.

Доповненням алгебри елемента аij визначника називається мінор Мij цього елемента, взятий зі знаком (-1). Доповнення алгебри елемента аij позначається через Аij. У прийнятому нами позначенні матимемо:

(3.88)

Ферраром і Глобером доведено, що статична величина  j підкоряється розподілу Фішера з (n-p) і (р-1) ступенями свободи. Отже, для виявлення мультиколінеарності використовується звичайний прийом перевірки статистичних гіпотез. Обчисливши вираз   j (j=1,2…р), порівнюємо їх значення з табличними значеннями    5% и   1% при відповідних ступенях свободи [ (n-p) (p-10) ].

Якщо   j <  5%, то гіпотеза відсутності мультиколінеарності j-го аргументу з іншими в генеральній сукупності стверджується. Навпаки, при   j >  5% - відкидається гіпотеза відсутності мультиколінеарності j-го аргументу з іншими в генеральній сукупності. При  5% <   j <  1% використовуються засоби  послаблення мультиколінеарності шляхом переходу до нелінійних залежностей та ін.

Висновки про виключення якогось аргументу супроводяться логічним аналізом. По аргументах, що збереглися, повторюється перевірка мультиколінеарності.

Управління множинної регресії виявляється тим точніше і надійніше, чим слабше внутрішні кореляційні зв'язки між аргументами.

Знайдені в результаті рішення кореляційної матриці  β- коефіцієнти показують на яку частину середньоквадратичного відхилення σу змінюється середнє значення функції, якщо відповідний аргумент зменшується або збільшується на юшок, а інші аргументи залишаються незмінними.

Найбільш доцільно відшукувати рівняння множинної регресії шляхом послідовного підключення до парного рівняння решти аргументів в порядку їх значущості (економічної, технологічної і т.п.). У цьому випадку виявляється можливість на кожному етапі аналізувати:

- обумовленість вирішуваної системи за чисельним значенням її визначника (детермінатора);